首先根據(jù)單電磁鐵的物理模型建立了磁懸浮系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的數(shù)學(xué)模型，并采用偽微分反饋控制（PDF）策略對(duì)懸浮系統(tǒng)進(jìn)行控制。通過(guò)理論分析和計(jì)算機(jī)機(jī)仿真證明了PDF懸浮控制系統(tǒng)具有高穩(wěn)定性、高精度、魯棒性強(qiáng)、可控性好等優(yōu)點(diǎn)。 1 引言 磁懸浮系統(tǒng)本質(zhì)上是一個(gè)非線性、不穩(wěn)定的系統(tǒng)，對(duì)懸浮進(jìn)行控制的方法有很多種，但大多數(shù)很復(fù)雜，成本也高，實(shí)際中應(yīng)用地很少。而偽微分反饋控制（Pseudo Derivative Feedback，以下簡(jiǎn)稱PDF）法是一種較新型的控制方法，目前PDF控制己在溫度控制、機(jī)器人手臂和電液伺服等系統(tǒng)中得到了很好的應(yīng)用。理論和實(shí)踐都表明，PDF控制具有響應(yīng)速度快，抗干擾能力強(qiáng)、魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)。本論文利用單電磁懸浮系統(tǒng)進(jìn)行建模，模型的線性化，理論分析和仿真，說(shuō)明PDF控制策略具有較好的控制性能。 2 單電磁鐵懸浮系統(tǒng)模型的建立 圖（1）所示為單電磁鐵與導(dǎo)軌組成的懸浮系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)： mg:電磁鐵重力　□d：外界擾動(dòng)量　F（i,t）：電磁吸力 z（t）：磁極表面相對(duì)參考平面的距離　h（t）：導(dǎo)軌表面相對(duì)參考平面的距離 c（t）：磁極與導(dǎo)軌間的氣隙　i（t）：控制線圈電流　u（t）：繞組回路的電壓 □□ΦT：主極磁通 Φm：氣隙磁通　ΦL：漏磁通 對(duì)單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)建模 假定繞組漏磁通（即ΦL＝0）。導(dǎo)軌與磁極的距離為c（t）,忽略漏磁通以及導(dǎo)軌和磁鐵芯的磁阻，電磁鐵與導(dǎo)軌所形成的磁路的磁阻主要集中在兩者間的氣隙上，故有效氣隙磁阻RT為： 電磁鐵繞組電感為： 上式中：L為電感值，N為電磁鐵繞組匝數(shù)，ΦT為主極磁通，RT為磁路磁阻，A為鐵芯極面積，μ0為空氣磁導(dǎo)率，i（t）為控制線圈電流。μ0＝4π＊10-7H/m是空氣的磁導(dǎo)率 氣隙磁通密度為： 磁場(chǎng)儲(chǔ)能為： 電磁吸力與磁場(chǎng)能量的關(guān)系為： 對(duì)電磁鐵繞組回路的電壓方程分析可得： 結(jié)合電磁鐵在垂直方的受力情況，得出磁懸浮系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型方程組如下（以向下為正方向）：其中fd為外界擾動(dòng)量?？紤]到軌道作用面的變化，則：z（t）=h（t）+c（t）綜上所分析： 平衡點(diǎn)處的平衡方程為： 3 系統(tǒng)模型線性化與狀態(tài)方程的建立 在平衡點(diǎn)（i0,c0）附近對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化，將式（2-5）在平衡點(diǎn)處作泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)： 其中， 電壓方程在平衡點(diǎn)處的線性化方程為： 其中：線性化系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立方程組（1）經(jīng)過(guò)平衡點(diǎn)處線性化，選擇作為狀態(tài)變量，得到如下?tīng)顟B(tài)方程： 由磁懸浮系統(tǒng)的系統(tǒng)方程可得出開(kāi)環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖2所示。 為方便研究，我們假設(shè)Δh（t）=0，則有Δc（t）=Δz（t），即不考慮軌道作用面的變化。由磁懸浮系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)結(jié)構(gòu)圖，我們可以得出懸浮氣隙（位置）對(duì)輸入電壓的傳遞函數(shù)： 系統(tǒng)的特征方程為： 由該表達(dá)式知，特征方程缺s的一次方項(xiàng)的系數(shù)，而且末項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，根據(jù)勞斯判據(jù)，特征方程具有不穩(wěn)定性。且開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是三階不穩(wěn)定系統(tǒng)。所以這個(gè)系統(tǒng)需要加一個(gè)反饋控制器以保證系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮。 4 偽微分反饋控制器理論及仿真 4.1 PDF控制策略的由來(lái) 對(duì)工程中最常見(jiàn)的一階和二階對(duì)象進(jìn)行反饋控制時(shí)，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，應(yīng)當(dāng)加上一階和二階微分環(huán)節(jié)，然而在實(shí)際系統(tǒng)中，二階以上的微分信號(hào)的直接測(cè)取時(shí)十分困難的，若采用被控變量或者其微分再經(jīng)微分處理過(guò)后作為反饋信號(hào)，則又引起麻煩的噪聲問(wèn)題。如果信號(hào)在反饋通道中先經(jīng)微分，通過(guò)比較點(diǎn)之后，再進(jìn)行積分“復(fù)原”，那不如使信號(hào)走捷徑直達(dá)末級(jí)控制元件的輸入處。用這種方法能獲得微分反饋信號(hào)而無(wú)須進(jìn)行微分，或者只進(jìn)行低階微分，因此稱之為偽微分反饋控制，這給工程帶來(lái)了極大方便。 4.2 PDF控制策略的基本思想 PDF控制，它是由美國(guó)康奈爾大學(xué)的Phelan教授于1971年率先提出的一種實(shí)用性很強(qiáng)的工程控制理論，西南交通大學(xué)機(jī)械學(xué)院陳留教授在留美期間，與Phelan教授合作，進(jìn)一步完善和發(fā)展了這個(gè)理論，在一階、二階和高階系統(tǒng)中均取得了非常好的效果。目前PDF控制己在溫度控制、機(jī)器人手臂和電液伺服等系統(tǒng)中得到了很好的應(yīng)用。 偽微分反饋控制策略的基本思想是：按照誤差控制的閉環(huán)系統(tǒng)，其控制器的作用就是對(duì)輸入的誤差信號(hào)進(jìn)行計(jì)算從而產(chǎn)生輸出指令去整定功率驅(qū)動(dòng)元件的輸出功率，最終使得被控對(duì)象朝著誤差減小的方向運(yùn)動(dòng)。理想的控制作用應(yīng)該達(dá)到以下三個(gè)目標(biāo)： （1）對(duì)任何誤差（恒值或時(shí)變值）均有反應(yīng)； [IMG=圖2 磁懸浮系統(tǒng)開(kāi)環(huán)結(jié)構(gòu)圖]/uploadpic/THESIS/2007/11/2007111312515177025Y.jpg[/IMG] （2）該控制作用的結(jié)果可以完全消除一切形式干擾產(chǎn)生的誤差； （3）如果被控對(duì)象未按指令動(dòng)作，該控制器應(yīng)能產(chǎn)生使功率驅(qū)動(dòng)元件提供隨時(shí)間而遞增的輸出功率的控制信號(hào)。 典型的PDF控制框圖如圖3所示，圖中R為參考輸入，躍參考輸入的幅值，E為差信號(hào)，C為輸出信號(hào)，L為干擾信號(hào)，G（S）為被控對(duì)象傳遞函數(shù)，傳函為1的方框代表末級(jí)控制單元，M1為其低能量級(jí)的控制信號(hào)，M2為其高能量級(jí)的輸出信號(hào)。由于受實(shí)際控制元件的制約，始終有M2≤Mmax ；Ki，Kp，Kd分別為PDF控制器的積分、比例、微分系數(shù)。 4.3 PDF控制參數(shù)的計(jì)算 確定控制參數(shù)使控制系統(tǒng)綜合的主要工作，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行仿真，由圖（3）所示PDF控制框圖，需要確定三個(gè)控制參數(shù)Ki，Kp，Kd。它們需要按照某一選定的目標(biāo)函數(shù)（例如ITAE,IAS,ISE及最小調(diào)整時(shí)間等），用約束優(yōu)化的方法確定。這些方法各有千秋，但就算法的通用性和難易程度而言，陳留教授提出的“特征根結(jié)構(gòu)理論”具有更大的優(yōu)越性。 而給出的懸浮系統(tǒng)的模型參數(shù)如表1所示。 實(shí)際控制系統(tǒng)應(yīng)滿足的設(shè)計(jì)指標(biāo)為：上升指標(biāo)tr≤0.2s，調(diào)整時(shí)間ts≤0.4s，超調(diào)量MP≤0.2。 由以上指標(biāo)及模型參數(shù)，根據(jù)圖（3）所示PDF控制框圖，可以得到其傳遞函數(shù)為： 其閉環(huán)特征方程為： 根據(jù)給定的性能指標(biāo)和陳方法關(guān)于PDF控制系數(shù)確定的特征根結(jié)構(gòu)理論，選取閉環(huán)系統(tǒng)希望的極點(diǎn)為：s1,2=-20，s3=-200 此時(shí)系統(tǒng)相應(yīng)快、無(wú)超調(diào)、魯棒性強(qiáng)，從而得到系統(tǒng)的特征方程為： □（s）=s3+240s2+8400s+80000 （10） 比較式子（9）和（10）的系數(shù)，可以得出： 式（11）中的數(shù)據(jù)代入（8）的得到傳遞函數(shù)為： 4.4 PDF懸浮控制系統(tǒng)的策略分析及matlab仿真 4.4.1 穩(wěn)定性方面 如圖4所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 顯然，系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式是三階，可分解為的形式，即 令等式兩邊的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，可以得到 由式（12）可以得知，通過(guò)適當(dāng)調(diào)整，可以使系統(tǒng)達(dá)到任意希望的閉環(huán)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式，因此PDF可調(diào)參數(shù)多，系統(tǒng)的可控性高。 4.4.2 控制精度方面 如圖4所示，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： 由此可以得到PDF控制系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為： 對(duì)于的階躍輸入信號(hào)其穩(wěn)態(tài)誤差為 由此可知，PDF控制對(duì)于階躍輸入信號(hào)是無(wú)靜態(tài)誤差的，控制精度高。 4.4.3 魯棒性方面 系統(tǒng)的魯棒性主要反映系統(tǒng)對(duì)外界干擾、被控對(duì)象內(nèi)部參數(shù)發(fā)生變化時(shí)的抗干擾能力。對(duì)于PDF懸浮控制系統(tǒng)，參照?qǐng)D4，系統(tǒng)對(duì)外界干擾L輸入的傳遞函數(shù)為： 階躍干擾對(duì)輸出產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差為： 即系統(tǒng)對(duì)階躍干擾信號(hào)無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，當(dāng)干擾時(shí)，對(duì)輸出產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差為： 可見(jiàn)，系統(tǒng)對(duì)速度信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差與被控系統(tǒng)的參數(shù)無(wú)關(guān)，而只與PDF控制器的一個(gè)參數(shù)有關(guān)，即被控系統(tǒng)的變化對(duì)系統(tǒng)干擾性能無(wú)影響，由此可見(jiàn)，PDF控制策略對(duì)被控對(duì)象的參數(shù)變化具有很強(qiáng)的魯棒性。 4.4.4 時(shí)間響應(yīng)分析 PDF控制器再靜態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能上都顯示了一定的優(yōu)越性，圖5分別為PDF閉環(huán)控制系統(tǒng)在階躍輸入信號(hào)和階躍干擾信號(hào)作用下的仿真結(jié)果。 由圖5a所示，PDF懸浮控制系統(tǒng)比較穩(wěn)定，在階躍信號(hào)輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為零，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)0.3秒的時(shí)間達(dá)到穩(wěn)定并且無(wú)超調(diào)，且動(dòng)態(tài)性能好，輸入為零時(shí)，在階躍信號(hào)的干撓下，穩(wěn)態(tài)圖5b顯示穩(wěn)態(tài)誤差幾乎為零。PDF控制器對(duì)被控參數(shù)的變化不敏感，具有很強(qiáng)的魯棒性，較高的精確度，這就說(shuō)明PDF控制器對(duì)被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型并不做精確的要求，一定的偏差并不會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)性能的影響。 5 結(jié)束語(yǔ) 本文首先采用單電磁鐵方法建立了懸浮控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用PDF控制策略對(duì)懸浮系統(tǒng)進(jìn)行控制，通過(guò)對(duì)PDF控制系統(tǒng)的性能和計(jì)算機(jī)仿真分析，得出如下結(jié)論： （1） PDF懸浮控制系統(tǒng)具有響應(yīng)速度快、控制精度高、可控性好、抗干擾能力和魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，具有較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值和廣闊的發(fā)針前景。 （2） PDF懸浮控制對(duì)被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型并不做精確的要求，一定的偏差并不會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)性能的影響。 第二屆伺服與運(yùn)動(dòng)控制論壇論文集 第三屆伺服與運(yùn)動(dòng)控制論壇論文集