摘要：針對(duì)粒子濾波(PF)中存在粒子貧化的現(xiàn)象，將粒子群優(yōu)化思想引入粒子濾波中。該方法先將采樣得到的粒子集通過(guò)聚類找出中心點(diǎn)，分別運(yùn)用粒子群優(yōu)化每個(gè)聚類，使粒子集可以向后驗(yàn)概率密度分布取值較大的區(qū)域運(yùn)動(dòng)，從而克服了粒子貧化的問(wèn)題，并通過(guò)對(duì)粒子集的優(yōu)化，很大程度地降低了所需初始粒子的數(shù)目。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法具有較高的預(yù)估精度和較好的魯棒性。

關(guān)鍵詞：粒子濾波；聚類；粒子群優(yōu)化；貝葉斯估計(jì)

1.引言

粒子濾波【1,2】是一種基于蒙特卡洛方法的貝葉斯濾波技術(shù)。該算法目前被廣泛應(yīng)用于非線性、非高斯環(huán)境下的參數(shù)估計(jì)和狀態(tài)估計(jì)以及語(yǔ)音信號(hào)處理、目標(biāo)跟蹤、自適應(yīng)估計(jì)等領(lǐng)域。

基本的粒子濾波算法主要有重要性采樣、權(quán)值更新和重采樣三個(gè)步驟。由于在選取最優(yōu)重要概率密度函數(shù)時(shí)面臨諸多困難，因此采用次優(yōu)重要密度函數(shù)代替，因此常規(guī)粒子濾波方法存在一些問(wèn)題：（1）樣本貧化問(wèn)題。其原因是,重采樣時(shí),復(fù)制保留了權(quán)值較大的粒子,權(quán)值小的粒子被剔除,這樣導(dǎo)致重采樣后的粒子幾乎都是少數(shù)幾個(gè)粒子的后代,粒子多樣性明顯減弱,不能充分表征后驗(yàn)概率密度。過(guò)程噪聲較大時(shí),貧化問(wèn)題更為嚴(yán)重,甚至?xí)斐蓸颖究萁?即經(jīng)過(guò)幾個(gè)反復(fù)變成只有一個(gè)點(diǎn)。（2）計(jì)算的實(shí)時(shí)性問(wèn)題。常規(guī)的粒子濾波方法需要大量的粒子才能保證估計(jì)精度，計(jì)算復(fù)雜度高，當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)未知時(shí),需要大量的粒子才能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)預(yù)估。如果粒子集數(shù)目比較小,那么粒子可能并未分布在真實(shí)狀態(tài)附近,這樣經(jīng)過(guò)幾次迭代后,粒子很難收斂到真實(shí)狀態(tài)處，為此需要大量的初始化粒子。

為了解決上述問(wèn)題，文獻(xiàn)[3]分析了最優(yōu)重要密度函數(shù)選取規(guī)則及困難；PittM和ShephardN從提議重要概率分布的選取角度,提出輔助變量粒子濾波器(APF)[4]，從而增加了粒子的多樣性,減小了重要性權(quán)的方差；Merwe等人提出Unscented粒子濾波器(UPF)[5],使用UKF產(chǎn)生PF的重要性分布,重要概率分布與真實(shí)的后驗(yàn)概率分布更接近。該方法將最新的觀測(cè)值引入預(yù)測(cè)過(guò)程中,因此提高了常規(guī)粒子濾波的性能,但計(jì)算量也大大增加了。文獻(xiàn)[6]提出了基于差分演化的粒子濾波算法(DE-PF)，該算法通過(guò)對(duì)粒子進(jìn)行差分變異和差分交叉等操作，提高了粒子的利用率，但是差分演化算法和遺傳算法一樣，需要經(jīng)過(guò)多代差分演化操作才能達(dá)到良好的濾波效果。

針對(duì)這一問(wèn)題，本文在分析了粒子濾波方法不足的基礎(chǔ)上,將聚類和粒子群優(yōu)化算法引入粒子濾波采樣中,通過(guò)對(duì)粒子集的優(yōu)化，改善了樣本的分布,加速了粒子集的收斂,使得粒子濾波的性能得到很大的提高。

2粒子濾波算法

一般的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，可由下面的狀態(tài)空間模型描述：

其中，為先驗(yàn)概率密度，是觀測(cè)量為時(shí)的似然概率密度，為后驗(yàn)概率密度。從上式可知，貝葉斯定理是從先驗(yàn)知識(shí)（先驗(yàn)概率密度）開始，不斷利用后續(xù)新的觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)修正先驗(yàn)知識(shí)，從而得到修正后的未知量（后驗(yàn)概率密度）的過(guò)程。先驗(yàn)概率密度得到了在新觀測(cè)數(shù)據(jù)到來(lái)之前的所有未知狀態(tài)變量信息，似然概率密度表示了在實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)已知的前提下未知狀態(tài)變量出現(xiàn)的概率，即粒子濾波中粒子權(quán)值的大小。通過(guò)得到新觀測(cè)數(shù)據(jù)的修正，后驗(yàn)概率密度比先驗(yàn)概率密度更加接近被估計(jì)量的真實(shí)概率密度。

粒子濾波算法是貝葉斯估計(jì)框架下的序貫蒙特卡洛近似方法，它通過(guò)一系列帶有權(quán)值的粒子來(lái)近似當(dāng)前狀態(tài)的后驗(yàn)估計(jì)，并由粒子及其權(quán)值的加權(quán)和來(lái)估計(jì)當(dāng)前的狀態(tài)。其本質(zhì)就是將積分運(yùn)算變?yōu)橛邢迾颖军c(diǎn)的求和運(yùn)算，利用加權(quán)粒子集來(lái)近似系統(tǒng)在k時(shí)刻狀態(tài)的后驗(yàn)概率分布，其估計(jì)公式為：

（4）

一般情況下，狀態(tài)的后驗(yàn)分布不存在解析形式或者過(guò)于復(fù)雜，難以采樣。此時(shí)就需要通過(guò)重要性采樣來(lái)進(jìn)行近似。在標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波中，常選取狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度函數(shù)為次優(yōu)重要性密度函數(shù)，公式如下：

（5）

常規(guī)的粒子濾波算法為了解決次優(yōu)重要性函數(shù)由于權(quán)值方差增大帶來(lái)的粒子退化的影響，加入了重采樣步驟，其主要思想是拋棄那些權(quán)值小的粒子,復(fù)制那些權(quán)值大的粒子，但同時(shí)也帶來(lái)了新的問(wèn)題——重采樣后粒子多樣性的喪失，具有較大權(quán)值的粒子被多次選取，經(jīng)過(guò)若干次迭代后，樣本權(quán)值的方差會(huì)隨時(shí)間逐漸增大，所有的粒子都集中在一個(gè)點(diǎn)上，導(dǎo)致了粒子的貧化。

3利用聚類粒子群優(yōu)化算法對(duì)粒子濾波的改進(jìn)

3.1粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法（PSO）[7]的核心思想是群體中個(gè)體之間的信息共享能提供進(jìn)化的優(yōu)勢(shì)。在求解最優(yōu)化問(wèn)題時(shí),通常將所求問(wèn)題的解設(shè)計(jì)為搜索空間中的一個(gè)粒子,第i個(gè)粒子由三部分組成：當(dāng)前位置、飛行速度和粒子的適應(yīng)度f(wàn)itness組成。在迭代的過(guò)程中,粒子通過(guò)更新兩個(gè)“極值”來(lái)更新自己:一個(gè)是粒子本身所找到的最優(yōu)解,記為；另一個(gè)是整個(gè)粒子群目前所找到的最優(yōu)解,記為。在找到兩個(gè)最優(yōu)解以后,每一個(gè)粒子通過(guò)以下公式更新自己的速度和位置:

（6）

（7）

其中、分別是第i個(gè)粒子當(dāng)前的位置和飛行速度，為認(rèn)知系數(shù)，是[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。適應(yīng)度值是用來(lái)衡量搜索空間內(nèi)位置優(yōu)劣，驅(qū)使各粒子朝著搜索空間內(nèi)個(gè)體最優(yōu)和到目前為止發(fā)現(xiàn)的全局最優(yōu)方向移動(dòng)。

3.2本文改進(jìn)算法

如上所述，粒子群優(yōu)化算法是通過(guò)不斷更新粒子在搜索空間中的速度和位置來(lái)尋找最優(yōu)值，其特性與粒子濾波方法中通過(guò)不斷更新粒子的位置和權(quán)重值來(lái)逼近系統(tǒng)的真實(shí)后驗(yàn)概率分布相近，而且粒子群優(yōu)化算法中適應(yīng)度函數(shù)最優(yōu)的點(diǎn)即為空間最優(yōu)值，這與粒子濾波中權(quán)值較大的粒子更有可能代表真實(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相類似。基于以上兩點(diǎn)，對(duì)粒子濾波算法的改進(jìn)如下：

（1）系統(tǒng)初始化

通過(guò)已知隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)先驗(yàn)概率密度分布得到初始粒子：，每個(gè)粒子對(duì)應(yīng)的初始權(quán)值為

。

將粒子集分為幾個(gè)聚類后，根據(jù)公式（6）、（7）分別對(duì)每個(gè)聚類運(yùn)用粒子群算法優(yōu)化，不斷根據(jù)最優(yōu)值來(lái)更新每個(gè)粒子的速度與位置,使得粒子不斷地向真實(shí)狀態(tài)靠近。其中，為慣性權(quán)重[9]，采用自適應(yīng)調(diào)整，取值范圍在[0.9，0.4]之間。在尋優(yōu)的初期，為了增強(qiáng)算法的全局搜索能力，慣性權(quán)重隨種群多樣性的增加而增大；在尋優(yōu)的后期，為了增強(qiáng)算法的局部搜索能力，其隨著搜索的進(jìn)行而線性地減小。

通過(guò)移動(dòng)粒子群中的粒子使其向每個(gè)聚類的最優(yōu)粒子靠近,粒子群優(yōu)化算法實(shí)質(zhì)是驅(qū)動(dòng)所有的粒子向高似然概率區(qū)域移動(dòng)，使所有粒子都能更好的分布在真實(shí)狀態(tài)附近，提高每個(gè)粒子的作用效果，增加了粒子的多樣性。優(yōu)化后的粒子集為。

（4）更新粒子權(quán)值并歸一化：

（11）

（12）

（5）進(jìn)行重采樣：

4仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

圖1不同算法的跟蹤性能比較

從圖1可以看出，本文的改進(jìn)算法IPF相比APF算法更接近于對(duì)真實(shí)值的跟蹤，精度更高，波動(dòng)更小。為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文改進(jìn)算法的性能，采用多次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)的均方根誤差(RMSE)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，RMSE的定義為：

圖2 400次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)的RMSE對(duì)比

兩種算法的RMSE的均值和方差，以及平均運(yùn)行時(shí)間如表1所示：

從表1可以看出，本文提出的IPF方法在性能上優(yōu)于APF算法。與APF算法相比，IPF算法通過(guò)采樣時(shí)對(duì)粒子進(jìn)行優(yōu)化，由單個(gè)粒子個(gè)體尋優(yōu)與整個(gè)粒子群全局尋優(yōu)相結(jié)合，使遠(yuǎn)離真實(shí)狀態(tài)的粒子趨向于真實(shí)狀態(tài)出現(xiàn)概率較大的區(qū)域,提高了每個(gè)粒子的作用效果，有效地抑制了粒子的貧化。而APF算法由于狀態(tài)噪聲過(guò)大，單個(gè)樣本不足以對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度函數(shù)進(jìn)行精確近似，故使得基于以單個(gè)樣本近似的狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度函數(shù)的二次采樣的樣本質(zhì)量變差，因此跟蹤效果并不十分理想。

5.結(jié)論

本文提出了一種利用聚類粒子群采樣的粒子濾波算法。該算法先通過(guò)聚類算法將樣本采樣的粒子集分為幾個(gè)聚類，然后利用粒子群優(yōu)化算法使每個(gè)聚類的粒子通過(guò)更新其速度和位置向最優(yōu)粒子靠近，其實(shí)質(zhì)是粒子向高似然區(qū)域移動(dòng)，因此有效地降低了粒子貧化現(xiàn)象，增加了粒子的多樣性，提高了粒子的利用率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本方法的濾波效果優(yōu)于輔助粒子濾波算法（AFP）。