引 言

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Moment of Inertia)是剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性（回轉(zhuǎn)物體保持其勻速圓周運(yùn)動(dòng)或靜止的特性）的量度，用字母I或J表示。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)中的角色相當(dāng)于線性動(dòng)力學(xué)中的質(zhì)量，可形象地理解為一個(gè)物體對(duì)于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的慣性。在負(fù)載加速和減速的過程中，慣量是一個(gè)非常重要的參數(shù)，因此在運(yùn)動(dòng)控制中需要非常熟練的掌握常用傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的慣量計(jì)算方法。    

本文整理了各種常見機(jī)構(gòu)的慣量計(jì)算方法，給出兩種應(yīng)用案例中，雷賽伺服電機(jī)選型計(jì)算例題。

1 伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，常見5種傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的負(fù)載慣量計(jì)算方法

1.1常見物體慣量計(jì)算

模型1

長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)棒，旋轉(zhuǎn)中心通過細(xì)棒的中心并與細(xì)棒垂直，如下圖所示。

模型2

長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)棒，旋轉(zhuǎn)中心通過細(xì)棒的一端A并與細(xì)棒垂直，如下圖所示。

同理可得出

模型3

半徑為R的質(zhì)量均勻的細(xì)圓環(huán)，質(zhì)量為m，旋轉(zhuǎn)中心通過圓心并與環(huán)面垂直

取一長(zhǎng)度元dx，假設(shè)棒的質(zhì)量密度為λ，則長(zhǎng)度元的質(zhì)量為dm=λdl,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式:

模型4

質(zhì)量為m、半徑為R、厚度為h的圓盤或?qū)嵭膱A柱體，繞軸心轉(zhuǎn)動(dòng)

取任意半徑為r，寬度為dr的薄圓環(huán)，設(shè)ρ為圓盤的密度，dm為薄圓環(huán)的質(zhì)量，則此圓環(huán)轉(zhuǎn)到的慣量為

按照此公式，直徑為D的圓柱體繞中心軸旋轉(zhuǎn)的慣量為：

其中L為圓柱長(zhǎng)度，ρ為密度

模型5

絲桿帶動(dòng)的負(fù)載慣量

 注：式中Pb為絲杠導(dǎo)程（螺距）

總結(jié)

模型1與模型2可以應(yīng)用于均勻的長(zhǎng)條形或棒狀負(fù)載結(jié)構(gòu)的慣量計(jì)算。

模型3可應(yīng)用于同步輪負(fù)載結(jié)構(gòu)的慣量計(jì)算。

模型4可應(yīng)用于絲桿本身慣量的計(jì)算或圓柱體結(jié)構(gòu)的慣量計(jì)算。

模型5可應(yīng)用于絲桿帶動(dòng)的負(fù)載慣量計(jì)算。

注：常見剛體慣量計(jì)算助記

1.2伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，常見5種傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的負(fù)載慣量計(jì)算方法

在上述五種模型的基礎(chǔ)上，可以給出伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，常見5種傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的負(fù)載慣量計(jì)算方法（絲桿機(jī)構(gòu)、同步帶輪機(jī)構(gòu)，齒輪齒條結(jié)構(gòu)、圓盤結(jié)構(gòu)、長(zhǎng)臂結(jié)構(gòu)）

絲桿結(jié)構(gòu)

絲桿慣量

同步帶輪/齒條結(jié)構(gòu)

轉(zhuǎn)盤結(jié)構(gòu)

長(zhǎng)臂結(jié)構(gòu)

2 計(jì)算選型舉例

雷賽公司的交流伺服電機(jī)一般有不同慣量的型號(hào)可供用戶選用，如60、80機(jī)座電機(jī)都有中慣量和小慣量?jī)煞N。下面通過兩個(gè)常見案例的負(fù)載慣量計(jì)算，合理電機(jī)選型，來說明減小慣量不匹配的方法。

2.1絲桿結(jié)構(gòu)

已知：負(fù)載重量m=200kg，螺桿螺距P_b=20mm，螺桿直徑D_b=50mm，螺桿重量m_b=40kg，摩擦系數(shù)µ=0.002，機(jī)械效率η=0.9，負(fù)載移動(dòng)速度V=30m/min，全程移動(dòng)時(shí)間t=1.4s，加減速時(shí)間t1=t3=0.2s，靜止時(shí)間t4=0.3s。請(qǐng)選擇滿足負(fù)載需求的最小功率伺服電機(jī)。

01計(jì)算折算到電機(jī)軸上的負(fù)載慣量

02計(jì)算電機(jī)轉(zhuǎn)速

電機(jī)所需轉(zhuǎn)速 

03計(jì)算電機(jī)驅(qū)動(dòng)負(fù)載所需要的扭矩

克服摩擦力所需轉(zhuǎn)矩

選定電機(jī)方案：

運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)總慣量為145.29 kg*cm^2，需要最大轉(zhuǎn)矩為12.686Nm。雷賽ACM13030M2E-51-B電機(jī)，額定轉(zhuǎn)速2500RPM，額定力矩12NM，轉(zhuǎn)子慣量29 kg*cm^2，負(fù)載慣量比=145/29≈5倍，符合要求。

2.2 同步輪結(jié)構(gòu)

已知：快速定位運(yùn)動(dòng)模型中，負(fù)載重量M=5kg，同步帶輪直徑D=60mm，D1=90mm，D2=30mm，負(fù)載與機(jī)臺(tái)摩擦系數(shù)µ=0.003，負(fù)載最高運(yùn)動(dòng)速度2m/s，負(fù)載從靜止加速到最高速度時(shí)間100ms，忽略各傳送帶輪重量，選擇伺服電機(jī)。

01計(jì)算折算到電機(jī)軸上的負(fù)載慣量

02計(jì)算電機(jī)驅(qū)動(dòng)負(fù)載所需要的扭矩

克服摩擦力所需轉(zhuǎn)矩

加速時(shí)所需轉(zhuǎn)矩

03所需轉(zhuǎn)矩

04計(jì)算電機(jī)所需要轉(zhuǎn)速

選定電機(jī)方案：

由上述計(jì)算結(jié)果,可選擇雷賽伺服電機(jī)ACM6006L2H（額定轉(zhuǎn)矩1.9NM，額定轉(zhuǎn)速3000RPM，電機(jī)慣量0.6 kg*cm^2），慣量比為：5 / 0.6=8.3倍。

筆者在一些客戶現(xiàn)場(chǎng)發(fā)現(xiàn)， 有部分用戶選用了以下型號(hào)電機(jī)：ACM6004L2H（額定力矩1.27NM，峰值轉(zhuǎn)矩3.81NM，額定轉(zhuǎn)速3000RPM，電機(jī)慣量0.42 kg.cm^2）。如果選擇了此方案，系統(tǒng)慣量比為5/0.42=11.9倍，動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能及定位完成時(shí)間都會(huì)比選擇ACM6006L2H伺服方案要差，合理的慣量比對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能有很大的提升。

3 結(jié)論

伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，常見傳動(dòng)機(jī)構(gòu)有五種：絲桿機(jī)構(gòu)、同步帶輪機(jī)構(gòu)，齒輪齒條結(jié)構(gòu)、圓盤結(jié)構(gòu)、長(zhǎng)臂結(jié)構(gòu)。工程師宜熟練掌握各種機(jī)構(gòu)的負(fù)載慣量計(jì)算方法。在此基礎(chǔ)上，才能正確計(jì)算慣量比。要提高伺服系統(tǒng)的快速響應(yīng)特性，首先必須提高機(jī)械傳動(dòng)部件的諧振頻率，即提高機(jī)械傳動(dòng)部件的剛性和減小機(jī)械傳動(dòng)部件的慣量。其次通過增大阻尼壓低諧振峰值也能提高快速響應(yīng)特性創(chuàng)造條件。第三，如果負(fù)載慣量較大時(shí)，可以考慮采用減速機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)負(fù)載慣量與電機(jī)慣量之間的慣量比在合適范圍。在部分應(yīng)用案例中，也可以考慮選用慣量更大的電機(jī)，來滿足降低慣量比，提高加速性能和穩(wěn)定性的要求。最后，伺服驅(qū)動(dòng)控制算法很多新技術(shù)的成功應(yīng)用，也為伺服系統(tǒng)更高精度、高平穩(wěn)性運(yùn)行提供了可能。更詳細(xì)慣量比合理取值的論述，可參考雷賽公司文章《伺服電機(jī)負(fù)載慣量比的合理取值》。