本文主要是關(guān)于卷積編碼的相關(guān)應(yīng)用介紹，并著重闡述了卷積編碼在通信當(dāng)中的應(yīng)用案例。

卷積碼

若以（n，k，m）來(lái)描述卷積碼，其中k為每次輸入到卷積編碼器的bit數(shù)，n為每個(gè)k元組碼字對(duì)應(yīng)的卷積碼輸出n元組碼字，m為編碼存儲(chǔ)度，也就是卷積編碼器的k元組的級(jí)數(shù)，稱(chēng)m+1=K為編碼約束度m稱(chēng)為約束長(zhǎng)度。卷積碼將k元組輸入碼元編成n元組輸出碼元，但k和n通常很小，特別適合以串行形式進(jìn)行傳輸，時(shí)延小。與分組碼不同，卷積碼編碼生成的n元組元不僅與當(dāng)前輸入的k元組有關(guān)，還與前面m-1個(gè)輸入的k元組有關(guān)，編碼過(guò)程中互相關(guān)聯(lián)的碼元個(gè)數(shù)為n*m。卷積碼的糾錯(cuò)性能隨m的增加而增大，而差錯(cuò)率隨N的增加而指數(shù)下降。在編碼器復(fù)雜性相同的情況下，卷積碼的性能優(yōu)于分組碼。

卷積碼的糾錯(cuò)能力不僅與約束長(zhǎng)度有關(guān)，還與采用的譯碼方式有關(guān)。總之，由于n，k較小，且利用了各組之間的相關(guān)性，在同樣的碼率和設(shè)備的復(fù)雜性條件下，無(wú)論理論上還是實(shí)踐上都證明：卷積碼的性能至少不比分組碼差。

卷積編碼在通信中的應(yīng)用

基本概念

要理解卷積首先要明白脈沖信號(hào)和脈沖響應(yīng)的概念，在線性時(shí)不變系統(tǒng)中任意一個(gè)信號(hào)都可以分解為一組脈沖（impulse）信號(hào)的組合。而脈沖信號(hào)是一個(gè)只是為了分析實(shí)際并不存在的信號(hào)，其定義是除了某一時(shí)間點(diǎn)處有值其他時(shí)間點(diǎn)都為0的信號(hào)。單位脈沖信號(hào)也叫做delta函數(shù)即幅度歸一化為1，采樣點(diǎn)0處為1其他點(diǎn)為0的信號(hào)。脈沖信號(hào)可以理解為單位脈沖信號(hào)經(jīng)過(guò)量化和移位的結(jié)果。實(shí)際上脈沖分解提供了一種每次只分析一個(gè)采樣點(diǎn)的方法。當(dāng)單位脈沖為輸入時(shí)系統(tǒng)輸出信號(hào)即為脈沖響應(yīng)。

在線性系統(tǒng)里，卷積用來(lái)描述輸入信號(hào)，脈沖響應(yīng)和輸出信號(hào)的關(guān)系。

下圖中卷積實(shí)現(xiàn)低通濾波和高通濾波。

接下來(lái)詳述卷積的數(shù)學(xué)描述，可以分別通過(guò)輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的角度看待卷積。

輸入信號(hào)角度看待卷積

首先從輸入信號(hào)角度，要看每個(gè)輸入采樣點(diǎn)對(duì)輸出信號(hào)的貢獻(xiàn)是什么。如下圖所示一個(gè)9個(gè)輸入點(diǎn)的信號(hào)通過(guò)有4個(gè)采樣點(diǎn)脈沖響應(yīng)的系統(tǒng)，其框圖如下。

從每一個(gè)輸入信號(hào)采樣點(diǎn)的角度來(lái)看，其輸出即為單位脈沖響應(yīng)乘以一個(gè)系數(shù)并移位的結(jié)果，所以下圖顯示了所有9個(gè)采樣點(diǎn)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)的結(jié)果。

因此可以由此得到9個(gè)采樣點(diǎn)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)之后的輸出。卷積還有一個(gè)特性就是兩個(gè)輸入可交換，即a*b=b*a。將上例兩個(gè)輸入交換即對(duì)于一個(gè)4個(gè)輸入信號(hào)通過(guò)9個(gè)采樣點(diǎn)脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的分析如下：

對(duì)于從輸入信號(hào)角度看待卷積，其程序如下所示：

其核心在于第240行，舉例來(lái)說(shuō)，對(duì)于輸入信號(hào)第40個(gè)采樣點(diǎn)，內(nèi)部循環(huán)每個(gè)點(diǎn)通過(guò)脈沖響應(yīng)所做的三件事，首先，脈沖響應(yīng)被乘以一個(gè)輸入采樣值來(lái)進(jìn)行量化。其次，量化脈沖向右移位40個(gè)采樣點(diǎn)。最后，輸出值累加每個(gè)輸入采樣點(diǎn)產(chǎn)生的結(jié)果。

輸出信號(hào)角度看待卷積

輸入信號(hào)角度看待卷積輸入的每個(gè)采樣點(diǎn)影響了輸出信號(hào)的多個(gè)采樣。在第二種觀點(diǎn)，我們反過(guò)來(lái)單獨(dú)看輸出信號(hào)的每個(gè)采樣點(diǎn)由哪些輸入信號(hào)采樣點(diǎn)產(chǎn)生。假設(shè)想要找出給定一些輸入信號(hào)和脈沖響應(yīng)的卷積輸出，最直觀的方法就是計(jì)算輸出信號(hào)每個(gè)采樣點(diǎn)的輸出。這就需要知道如何計(jì)算輸出信號(hào)每個(gè)采樣點(diǎn)的結(jié)果。假設(shè)對(duì)于y（6）找出哪些輸入影響著y（6）的結(jié)果。通過(guò)看上面所有9個(gè)輸入采樣點(diǎn)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)的結(jié)果圖，可以看出x（3），x（4），x（5），x（6）通過(guò)脈沖響應(yīng)的輸出分量影響y（6）。

y（6）=x（3）h（3）+x（4）h（2）+x（5）h（1）+x（6）h（0）

下圖將輸出端算法闡述為卷積器，流程圖顯示了如何進(jìn)行卷積。

卷積器可以看作黑盒子可以左右進(jìn)行移動(dòng)，4個(gè)輸入信號(hào)采樣點(diǎn)進(jìn)入輸入端，這些值乘以脈沖響應(yīng)代表的值并且結(jié)果相加。例如y(6)就由x(3),x(4),x(5),x(6)計(jì)算出來(lái)的。為了計(jì)算y(7)，卷積器向右移動(dòng)一位，另外4個(gè)輸入x(4)-x(7)進(jìn)入卷積器。這個(gè)過(guò)程對(duì)于所有需要計(jì)算輸出信號(hào)的點(diǎn)重復(fù)進(jìn)行。

上圖中卷積器中脈沖響應(yīng)左右移位，進(jìn)行移位只是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)計(jì)算方便。脈沖響應(yīng)描述了每個(gè)輸入信號(hào)點(diǎn)如何影響輸出信號(hào)。輸出信號(hào)每個(gè)點(diǎn)的結(jié)果由輸入信號(hào)乘以一個(gè)翻轉(zhuǎn)的脈沖響應(yīng)來(lái)影響。

下圖顯示了邊界處理情況。

計(jì)算y(0)時(shí)需要x(-3),x(-2),x(-1)和x(0)，但x(-3),x(-2),x(-1)并不存在。這種情況通過(guò)邊界加0來(lái)處理。

這種輸出信號(hào)基于不完整信息的情況在DSP術(shù)語(yǔ)中是脈沖響應(yīng)不完全沉浸在輸入信號(hào)中。如果脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度為M個(gè)點(diǎn)，那么輸出信號(hào)中的第一個(gè)到第M-1個(gè)采樣點(diǎn)是基于不完全輸入信息的。這類(lèi)似于電子電路，需要一定的時(shí)間來(lái)穩(wěn)定電源應(yīng)用。不同的是，這種瞬態(tài)在電子學(xué)中很容易被忽略，但在DSP中卻非常顯著。

下圖顯示了這種效應(yīng)帶來(lái)的麻煩，輸入信號(hào)是正弦波加上一個(gè)DC分量,期望移除信號(hào)的DC部分。

如圖所示，前后30個(gè)信號(hào)出現(xiàn)問(wèn)題，在DSP中這種“endeffect”問(wèn)題很普遍。因此一般規(guī)則是在處理信號(hào)時(shí)最開(kāi)始和結(jié)束的一些采樣點(diǎn)被丟掉不用。

接下來(lái)是卷積的數(shù)學(xué)公式：

公式中允許輸出信號(hào)樣點(diǎn)逐個(gè)計(jì)算。為了計(jì)算某個(gè)輸出采樣，指數(shù)j從0到M-1進(jìn)行遍歷，每個(gè)脈沖響應(yīng)采樣點(diǎn)h[j]與適當(dāng)?shù)妮斎氩蓸有盘?hào)x[x-j]相乘之后相加。

同樣的執(zhí)行卷積的程序如下所示：

與輸入端程序遍歷輸入采樣點(diǎn)不同的是輸出端程序遍歷輸出信號(hào)采樣點(diǎn)。值得注意的是對(duì)于只有80個(gè)輸入采樣點(diǎn)的信號(hào)輸出信號(hào)定義有幾種方法。例如擴(kuò)展輸入采樣點(diǎn)在邊界加0或者是只處理從30到80的信號(hào)。

權(quán)重輸入之和

通過(guò)以上兩種分析都可以得到卷積的結(jié)果?；仡^看上邊的卷積機(jī)器，將脈沖響應(yīng)考慮為一組權(quán)重系數(shù)，在這種觀點(diǎn)下每個(gè)輸出信號(hào)采樣點(diǎn)等于權(quán)重輸入之和。每個(gè)輸出采樣點(diǎn)由哪些輸入信號(hào)采樣影響取決于權(quán)重系數(shù)的選取。