搞永磁電機的同學們大概都體驗過永磁電機的一種特有現(xiàn)象，就是當一臺永磁電機裝配完成后，用手盤車，會有“咯噔咯噔”的咔頓感覺，這就是齒槽轉(zhuǎn)矩在作祟。

1 齒槽轉(zhuǎn)矩的定義及產(chǎn)生原因

齒槽轉(zhuǎn)矩是永磁電機特有的一個概念，GB/T 2900.25-2008《電工術(shù)語旋轉(zhuǎn)電機》里有明確的定義，即：411-48-45 齒槽轉(zhuǎn)矩(cogging torque）——無供電的永磁電動機由于其轉(zhuǎn)子和定子有自行調(diào)整至磁阻最小位置的趨勢而產(chǎn)生的周期性轉(zhuǎn)矩。

從本質(zhì)上講，齒槽轉(zhuǎn)矩是永磁體磁場與齒槽間作用力的切向分量。齒槽轉(zhuǎn)矩總是試圖將轉(zhuǎn)子定位在某一位置，因此齒槽轉(zhuǎn)矩又稱定位轉(zhuǎn)矩。齒槽轉(zhuǎn)矩與電樞電流無關(guān)，是定轉(zhuǎn)子相對位置的函數(shù)，與極槽配合及齒槽和磁極的結(jié)構(gòu)尺寸等有很大關(guān)系。

說這些可能同學們不大好理解，老師通俗地給同學們解釋一下。老師曾在《核武器是個神馬鬼》中說到，任何系統(tǒng)都希望趨于一種低能態(tài)，即系統(tǒng)含有的能量越低，系統(tǒng)越穩(wěn)定，這就是俗話說的“能坐著不站著，能躺著不坐著”，葛優(yōu)躺之所以舒服，是因為那種姿勢使身體處于一種“低能態(tài)”。對于一臺永磁電機，當定轉(zhuǎn)子裝配完成后，氣隙中就儲存了一定的磁場能量，由于電樞開槽的原因，使得氣隙磁場的儲能與定轉(zhuǎn)子相對位置有關(guān)，在繞組不通電的情況下，轉(zhuǎn)子會自動停在一個特定的位置上，這個位置就是磁場儲能最低的位置，即系統(tǒng)處于低能態(tài)，此位置也是磁阻最小的位置，如果此時用手盤車，你會感覺比較“費勁”，也就是說必須要輸入一定的轉(zhuǎn)矩，在這個盤車轉(zhuǎn)矩下轉(zhuǎn)子開始轉(zhuǎn)動，那么盤車轉(zhuǎn)矩乘以扭轉(zhuǎn)的角度就是你輸入到電機里的能量，氣隙里的磁場儲能就會增加，使系統(tǒng)處于一種高能態(tài)，這是一種不穩(wěn)定狀態(tài)，此時如果你松手停止盤車或繼續(xù)盤車至磁場儲能達到某一個臨界值時，轉(zhuǎn)子就會自動返回到原來的低能態(tài)位置或進入到下一個低能態(tài)位置。隨著轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周，磁場儲能會出現(xiàn)周期性變化，轉(zhuǎn)矩也會隨之發(fā)生周期變化，由此可見氣隙磁場儲能的大小與轉(zhuǎn)子的位置角有關(guān)，即磁場儲能是轉(zhuǎn)子位置角的函數(shù)。之所以會出現(xiàn)這種情況，都是因為電樞開有齒槽惹的禍，因此把這種轉(zhuǎn)矩稱為齒槽轉(zhuǎn)矩。根據(jù)虛位移理論，齒槽轉(zhuǎn)矩就是在繞組不通電的情況下氣隙磁場儲能對轉(zhuǎn)子位置角的偏導數(shù)。齒槽轉(zhuǎn)矩的方向總是向著磁能積變小的方向。

2 齒槽轉(zhuǎn)矩的危害

1. 齒槽轉(zhuǎn)矩會引起永磁電機的轉(zhuǎn)矩脈動，進而導致速度波動。

2. 轉(zhuǎn)矩脈動還會使電機產(chǎn)生振動和噪聲，當脈動轉(zhuǎn)矩的頻率與電樞電流諧振頻率一致時，會產(chǎn)生共振，勢必會放大齒槽轉(zhuǎn)矩的振動和噪聲。

3. 嚴重影響電機的定位精度和伺服性能，尤其在低速時影響更為嚴重。

4. 使得電機啟動困難，特別是對于永磁風力發(fā)電機，嚴重影響啟動風速。

3 齒槽轉(zhuǎn)矩的解析計算

隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，各種電磁仿真軟件功能極其強大，完全可以通過仿真準確地計算出齒槽轉(zhuǎn)矩。對于齒槽轉(zhuǎn)矩的仿真計算不做闡述，這里只給同學們說一說齒槽轉(zhuǎn)矩的解析計算，之所以講解析計算，倒不是因為解析計算比仿真計算更準確，而是因為解析法概念更加明晰，影響因素更加直觀。事實上解析計算由于忽略了一些次要因素，加之為了便于數(shù)學解算，進行了一些簡化，結(jié)果會存在一定的誤差，甚至無法解算出結(jié)果，但通過解析計算，使我們更加清楚齒槽轉(zhuǎn)矩與哪些因素或結(jié)構(gòu)參數(shù)的有關(guān)，以便能夠更加精準地找到削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的思路和有效方法。因此本條所講的內(nèi)容不作為設(shè)計時的齒槽轉(zhuǎn)矩計算方法和計算結(jié)果，只是用于當仿真出現(xiàn)齒槽轉(zhuǎn)矩過大時，如何進行齒槽轉(zhuǎn)矩優(yōu)化的理論指導。根據(jù)解析法得到優(yōu)化方法后，具體的優(yōu)化結(jié)果，還是要采用仿真計算來得到。鑒于這一段會用到大量的數(shù)學知識，老師知道一提數(shù)學同學們就懵圈，因此數(shù)學差的同學可以直接跳過數(shù)學推導部分，只看本條最后的總結(jié)即可。

如前所述，齒槽轉(zhuǎn)矩表達式(電機內(nèi)部的磁共能W相對于位置角α的偏導數(shù))：

                              (1)

磁場能量可以近似認為是氣隙和永磁體中的能量：

               (2)

B_r2 (θ)的傅里葉分解：

                (3)

的傅里葉分解：

           (4)

將式(3)、(4)代入式(2)、(1)，并考慮到三角函數(shù)的正交性，當兩個正弦或余弦函數(shù)的頻率不相等時，它們的乘積在2π范圍內(nèi)積分均為0，這樣就只剩下了使nz/2p為整數(shù)的項，整理后齒槽轉(zhuǎn)矩表達式：

       (5)

式中：B_r(θ)——永磁體剩磁沿圓周方向的分布；g(θ，α)——磁極中心線與齒中心線夾角為α時的有效氣隙長度沿圓周反向的分布；h_m——永磁體充磁方向長度；L_Fe——電樞鐵心長度；α——磁極中心線與齒中心線夾角；P——極對數(shù)；z——槽數(shù)；R₁——電樞外徑；R₂——定子軛內(nèi)徑；n——使nz/2p為整數(shù)的正數(shù)。

以上分析可得出以下結(jié)論：

1）齒槽轉(zhuǎn)矩的大小與永磁體剩磁及氣隙磁導波的傅立葉變換系數(shù)B_rn、G_n密切相關(guān)，而這兩個系數(shù)與磁極的結(jié)構(gòu)、槽型（特別是槽口）尺寸、極槽的分布、極弧系數(shù)、氣隙結(jié)構(gòu)等結(jié)構(gòu)參數(shù)以及齒槽轉(zhuǎn)矩的節(jié)次密切相關(guān)。

2）齒槽轉(zhuǎn)矩的波動頻率（節(jié)次）與極槽配合密切相關(guān)。

3）只有當nz/2p為整數(shù)的B_rn、G_n對齒槽轉(zhuǎn)矩起作用，其余的系數(shù)不產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩。對此多解釋一下，老師曾在《電機定轉(zhuǎn)子極數(shù)不同轉(zhuǎn)矩會怎樣》里講過，只有當定轉(zhuǎn)子極數(shù)相同時才產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩，極數(shù)不同轉(zhuǎn)矩恒等于0！極數(shù)相等時，如果定轉(zhuǎn)子磁場保持相對靜止，則產(chǎn)生恒定轉(zhuǎn)矩；如果定轉(zhuǎn)子磁場有相對運動，則產(chǎn)生脈動轉(zhuǎn)矩。極數(shù)為2p的永磁磁極會產(chǎn)生極數(shù)為2kp的一系列基波和諧波，而槽數(shù)為z的電樞會產(chǎn)生極數(shù)為nz的一系列的諧波磁阻極數(shù)，要想產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩，只有2kp=nz，即nz/2p為整數(shù)時產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩。

4 齒槽轉(zhuǎn)矩的削弱方法

鑒于齒槽轉(zhuǎn)矩的大小與G_n、B_rn及節(jié)次有密切關(guān)系，因此抑制齒槽轉(zhuǎn)矩就應該從這三個方面采取措施。

4.1 改變電樞參數(shù)

改變電樞參數(shù)能改變對齒槽轉(zhuǎn)矩起主要作用的G_n的幅值，進而削弱齒槽轉(zhuǎn)矩。這類方法主要包括：改變槽口寬度、改變齒的形狀、不等槽口寬、斜槽、在齒上開輔助槽等。采用斜槽或斜極是削弱齒槽轉(zhuǎn)矩最常見的方法，也是最有效、最方便的手段，其原理是相當于把齒槽均勻分布在整個電樞表面，因此就相當于沒有開齒槽，當然也就沒有了齒槽轉(zhuǎn)矩。理論上傾斜一個齒矩可以完全消除齒槽轉(zhuǎn)矩，但實際上由于加工精度、端部影響等因素仍不能完全消除。其它方法，只要通過合理的設(shè)計對齒槽轉(zhuǎn)矩的削弱效果同樣非常顯著，不再贅述。

4.2 改變磁極參數(shù)

改變磁極參數(shù)的方法是通過改變對齒槽轉(zhuǎn)矩起作用的B_rn的幅值，達到削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的目的。這類方法有：改變磁極的極弧系數(shù)、采用不等厚永磁體、磁極偏移、斜極、磁極分段、不等極弧系數(shù)組合和采用不等極弧系數(shù)等。理論和實踐均表明，當永磁磁極寬度為整數(shù)個定子齒距時可有效抑制齒槽轉(zhuǎn)矩。其它方法可參照專業(yè)書籍予以合理設(shè)計，不再贅述。

4.3 合理選擇槽數(shù)和極數(shù)

極槽配合的選擇是永磁電機設(shè)計的重要內(nèi)容，該方法的目的在于通過合理選擇電樞槽數(shù)和極數(shù)，改變對齒槽轉(zhuǎn)矩起主要作用的G_n的次數(shù)和大小，從而削弱齒槽轉(zhuǎn)矩。齒槽轉(zhuǎn)矩的節(jié)次越高，G_n越小，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值也越小。

以上是從方向上指出了削弱齒槽轉(zhuǎn)矩所采取的技術(shù)途徑，具體設(shè)計時應該結(jié)合具體項目采取相應的具體方法，如前所述，解析法只是一種理論上的指導，采取具體方法后的效果還需要仿真計算驗證。

5 理想與非理想齒槽轉(zhuǎn)矩

上述的分析是針對理想情況進行的。實際上，齒槽轉(zhuǎn)矩分為理想齒槽轉(zhuǎn)矩和非理想齒槽轉(zhuǎn)矩，前者是在理想磁路情況下產(chǎn)生的力矩，后者是由于制造或材料偏差引起磁路不對稱導致的力矩。二者均對電機產(chǎn)生負面作用。

（1）定子缺陷產(chǎn)生的齒槽轉(zhuǎn)矩

定子缺陷包括鐵心偏心、橢圓或硅鋼片材料特性不一致等。定子缺陷的存在，必然影響到氣隙磁導的諧波成分，除了理想的 Z 及其倍數(shù)次分量外，還會出現(xiàn)其它次數(shù)的諧波成分。這些低次氣隙磁導分量與相同次數(shù)的永磁體磁動勢平方值相互作用就產(chǎn)生非理想齒槽轉(zhuǎn)矩。由于永磁體磁動勢平方值的最低次數(shù)為 2P，定子缺陷產(chǎn)生的典型齒槽轉(zhuǎn)矩的次數(shù)為每周 2P 及其倍數(shù)次。

（2）轉(zhuǎn)子缺陷產(chǎn)生的齒槽轉(zhuǎn)矩

轉(zhuǎn)子缺陷主要由磁鋼性能離散引起。磁鋼性能離散時，各磁極的磁動勢呈不對稱分布，使得永磁體磁動勢平方值的諧波成分發(fā)生變化，除了理想的P 及其倍數(shù)次分量外，還會出現(xiàn)其它次的諧波成分。存在相同次數(shù)的永磁體磁動勢平方值與氣隙磁導分量時就會產(chǎn)生非理想齒槽轉(zhuǎn)矩。由于氣隙磁導的最低次數(shù)為 Z，轉(zhuǎn)子缺陷通常產(chǎn)生 Z 及其倍數(shù)次的齒槽轉(zhuǎn)矩。

比如很多同學發(fā)現(xiàn)，具體設(shè)計時，通過仿真方法已經(jīng)對齒槽轉(zhuǎn)矩進行了優(yōu)化，但是做出來的實物齒槽轉(zhuǎn)矩的次數(shù)與理論不一致，數(shù)值也比仿真大了很多倍。排除有限元仿真的準確性后，基本可以判斷是由工藝、材料造成的空間磁場不一致性導致的非理想齒槽轉(zhuǎn)矩。

通常，定、轉(zhuǎn)子缺陷同時存在，齒槽轉(zhuǎn)矩中同時存在理想成分、定子缺陷引起的非理想成分和轉(zhuǎn)子缺陷引起的非理想成分，而非理想次數(shù)的齒槽轉(zhuǎn)矩可通過設(shè)計得到一定的抑制，但更重要的是要從制造和材料方面采取措施。由于齒槽轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的原因是多方面的，無論采取怎樣的措施，對于有槽的永磁電機，其齒槽轉(zhuǎn)矩只能抑制到一定的程度，從根本上徹底消除是很困難的。