寫在前面

        首先應(yīng)該明確，穩(wěn)定性分析的對象是動力學(xué)系統(tǒng)。人們需要知道某一動態(tài)變化的系統(tǒng)在給定條件下的行為（如不同外界激勵/干擾、不同初始狀態(tài)、自身參數(shù)/條件變化時）是否能夠保持在某一范圍內(nèi)。否則，可能會出現(xiàn)系統(tǒng)嚴(yán)重震蕩、‘跑飛’或者‘失控’等一系列不穩(wěn)定行為。如圖1所示，這些動力學(xué)系統(tǒng)既可以是被控對象本身（無控制輸入，受到假想外界擾動時，是否能夠回到原來的平衡位置），可以是包含被控對象和控制算法的整個被控系統(tǒng)（控制輸出的動態(tài)是否能夠趨近預(yù)期軌跡），也可以是所設(shè)計的單個參數(shù)辨識/觀測器模塊（辨識/觀測值是否能夠趨近實際值）。

        圖1.穩(wěn)定性分析的對象（被控對象Plant、辨識/觀測模塊、整個被控系統(tǒng)）

        其次應(yīng)該注意到，取決于具體應(yīng)用場景，穩(wěn)定性分析既可以圍繞動力學(xué)系統(tǒng)的某個平衡點/吸引子展開（即狀態(tài)軌跡或者微分方程的解的軌跡相對于某個平衡點/吸引子的空間位置），也可以圍繞動力學(xué)系統(tǒng)中的變量/信號或者某類動態(tài)增益是否有界，是否會以某種速度（指數(shù)還是漸進方式）收斂于某個給定區(qū)域展開。穩(wěn)定性分析得到的結(jié)果是和控制系統(tǒng)所能達(dá)到的性能是密切相關(guān)的，甚至可以用穩(wěn)定性分析倒推控制算法的設(shè)計。如在控制算法手記—什么讓控制算法復(fù)雜化？所述：“如果能夠保證某一被控系統(tǒng)是全局指數(shù)穩(wěn)定的（Globallyexponentiallystable），那么不論系統(tǒng)初始狀態(tài)如何，系統(tǒng)控制誤差（或者其他變量）能在相當(dāng)短時間內(nèi)減小為零，并能夠長期保持在零；如果只能保證某一被控系統(tǒng)是局部漸近穩(wěn)定（Locallyasymptoticallystable），那么在一個較窄的工作范圍內(nèi)，系統(tǒng)的控制誤差隨著時間增長慢慢減小到零；如果無法保證系統(tǒng)指數(shù)/漸近穩(wěn)定性，只能保證輸入輸出有界（BoundedInputBoundedOutput），那么只能預(yù)期，系統(tǒng)控制誤差會在收斂在某一范圍內(nèi)；從這個意義上來說，從穩(wěn)定性展開的分析，能夠清楚定義控制系統(tǒng)所能達(dá)到的性能上限，并以此為基礎(chǔ)能夠合理地設(shè)計控制器?！弊詈?，控制算法模塊（如參數(shù)辨識、觀測器等）的引入使得整個被控系統(tǒng)的動力學(xué)行為豐富起來（可能會體現(xiàn)出非線性系統(tǒng)的典型動力學(xué)行為），系統(tǒng)失穩(wěn)風(fēng)險大大增加。因此，在先進控制算法（無論是基于模型還是數(shù)據(jù)驅(qū)動）的實施過程中，不應(yīng)忽視穩(wěn)定性在控制算法設(shè)計和控制系統(tǒng)分析中的基礎(chǔ)性意義，輕視以各種定理為基礎(chǔ)的穩(wěn)定性設(shè)計和證明方法，認(rèn)為只是沒用的數(shù)學(xué)公式和定理。同時，也不能照搬各種穩(wěn)定性設(shè)計方法，應(yīng)該在深入了解被控系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過合理的問題抽象和歸類，有針對性地設(shè)計控制算法和分析被控系統(tǒng)。

        穩(wěn)定性定義及分析方法

        對于初步學(xué)習(xí)先進控制算法的工程師來說，一個主要的障礙在于各種眼花繚亂的穩(wěn)定性定義和分析方法（如傳遞函數(shù)/線性狀態(tài)空間模型下的穩(wěn)定性、自治/非自治非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性），使得初學(xué)者很快淹沒在相關(guān)的數(shù)學(xué)式子和定理中，無法理解這些概念的實際物理意義，更談不上將這些概念有效地在實際中應(yīng)用。應(yīng)該注意到，各種穩(wěn)定性的定義和分析方法是建立在‘動力學(xué)系統(tǒng)所體現(xiàn)出來的動力學(xué)行為’以及’描述這些動力學(xué)行為的動力學(xué)模型’的基礎(chǔ)上。從這個意義上來說，先學(xué)習(xí)系統(tǒng)動力學(xué)建模和分析對于掌握各種穩(wěn)定性概念是十分有益的。實際上，各種穩(wěn)定性定義和分析一般都基于所關(guān)心的動力學(xué)系統(tǒng)某種給定形式的動力學(xué)模型，該模型恰當(dāng)?shù)孛枋隽舜治鱿到y(tǒng)的動力學(xué)行為和所處狀態(tài)（初始條件、有無外界干擾/噪聲、有無控制輸入、控制輸入是狀態(tài)變量還是系統(tǒng)輸出的函數(shù)、系統(tǒng)參數(shù)是否隨時間變化、有無未建模動態(tài)/不確定性等）。例如：

• 經(jīng)典控制理論中的傳遞函數(shù)模型，即描述了初始條件為零時，單輸入/單輸出、線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)輸出/輸入（即動態(tài)增益）的動力學(xué)行為。此時，穩(wěn)定性定義主要聚焦于該增益是否會發(fā)散或者無窮大；由此，相應(yīng)的穩(wěn)定性分析的角度則從傳遞函數(shù)特征多項式的解是否有正實部展開（即是否有不穩(wěn)定極點，出現(xiàn)不穩(wěn)定極點時，動態(tài)增益會出現(xiàn)指數(shù)增長項）；相應(yīng)的穩(wěn)定性判據(jù)則從代數(shù)（Routh判據(jù)，根據(jù)多項式系數(shù)判斷根的位置）、復(fù)平面（奈奎斯特判據(jù)）或者根軌跡（Root-locus）等角度展開；

• 線性系統(tǒng)中的狀態(tài)空間模型則描述了線性（定常）條件下，控制輸入、系統(tǒng)狀態(tài)變量、系統(tǒng)輸出（可以表示為狀態(tài)變量的線性函數(shù)）之間的動力學(xué)行為，著眼于狀態(tài)變量（即系統(tǒng)中獨立變化的動態(tài)變量）的動態(tài)行為。此時，穩(wěn)定性定義則從狀態(tài)軌跡（即狀態(tài)變量的空間軌跡）相對于系統(tǒng)平衡點（即原點）的相對空間位置展開，該狀態(tài)軌跡是否收斂于原點；由此，穩(wěn)定性分析的角度則轉(zhuǎn)變成系統(tǒng)矩陣是否具有正特征值（即是否有不穩(wěn)定極點，出現(xiàn)不穩(wěn)定極點時，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣/狀態(tài)變量將會出現(xiàn)指數(shù)增長項）；相應(yīng)的穩(wěn)定性判據(jù)則直接依據(jù)系統(tǒng)矩陣的特征值分布展開。

• 魯棒控制（RobustControl）中的傳遞函數(shù)模型/狀態(tài)空間模型則著重描述非理想因素（如外界干擾、參數(shù)/模型不確定性、未建模動態(tài)）對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響。此時，魯棒穩(wěn)定性（RobustStability）則主要定義了當(dāng)這些非理想因素達(dá)到什么程度或者幅度（程度/幅度都是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f法，一般采用范數(shù)/Norm進行描述，這里使用程度/幅度為保證解釋性），系統(tǒng)失去穩(wěn)定性；由此，魯棒穩(wěn)定性分析的角度則主要從非理想因素的影響程度展開；相應(yīng)的穩(wěn)定性判斷依據(jù)則依托于小增益定理（small-gaintheorem）；

• 非線性系統(tǒng)（Nonlinearsystem）的動力學(xué)行為則豐富得多（如多個孤立的平衡點/吸引子，對初始條件敏感（蝴蝶效應(yīng)，參見封面圖）、極限環(huán)振蕩、有限逃逸時間、混沌/分叉等），因此，穩(wěn)定性定義和分析最為復(fù)雜多樣，如圖2所示（僅列出了常見的穩(wěn)定性概念，這些穩(wěn)定性概念可以看成線性定常系統(tǒng)中穩(wěn)定性概念的泛化）。非線性動態(tài)系統(tǒng)模型采用一般形式的微分方程描述，難以通過解析方式得到狀態(tài)軌跡/系統(tǒng)輸出（小部分非線性系統(tǒng)可以通過在工作點附近做線性近似，轉(zhuǎn)化為線性定常系統(tǒng)，然后借用線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法進行穩(wěn)定性分析），因此多通過構(gòu)造函數(shù)（即李雅普諾夫Lyaponov函數(shù)）間接判斷狀態(tài)軌跡的情況（即不必求解微分方程，就可以判斷解的情況/系統(tǒng)動力學(xué)行為）。由此，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的角度則主要從構(gòu)造合適的Lyaponov函數(shù)，并分析Lyaponov函數(shù)的性質(zhì)展開；相應(yīng)的穩(wěn)定性判斷依據(jù)則主要分析構(gòu)造的Lyaponov函數(shù)是否滿足給定的數(shù)學(xué)性質(zhì)。

        圖2.非線性系統(tǒng)復(fù)雜多變的穩(wěn)定性

        值得注意的是，圖2中的各種穩(wěn)定性在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化：如果控制輸入u為狀態(tài)變量的函數(shù)（狀態(tài)反饋），則有控制輸入u的穩(wěn)定性可以轉(zhuǎn)化為無控制輸入的穩(wěn)定性；如果干擾項g具有和標(biāo)稱系統(tǒng)同樣的平衡點，則魯棒穩(wěn)定性分析可以借用無控制輸入的穩(wěn)定性分析；輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性的分析可以為輸入-輸出穩(wěn)定性分析奠定基礎(chǔ)。

        當(dāng)將這些穩(wěn)定性概念運用到控制算法設(shè)計中，模型中的狀態(tài)變量或者系統(tǒng)輸出可以是控制誤差或者辨識/觀測誤差等。因此，穩(wěn)定性分析應(yīng)該基于對被控系統(tǒng)動力學(xué)行為深刻認(rèn)識和理解的基礎(chǔ)上展開：首先根據(jù)分析目的和應(yīng)用場景確定要分析的是什么對象（參考圖1），這種對象又具有什么特征的動力學(xué)行為表現(xiàn)和模型描述形式，對應(yīng)的是那種類型的穩(wěn)定性（參考圖2），然后再有針對性地利用相關(guān)數(shù)學(xué)方法/定理去進行具體分析和設(shè)計。將穩(wěn)定性分析運用到控制算法設(shè)計中去穩(wěn)定性分析主要驗證所關(guān)心的動力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)行為是否能夠保持在一定范圍內(nèi)（如狀態(tài)軌跡之于平衡點的位置、系統(tǒng)輸出/輸入增益有界等）；而‘控制算法’本質(zhì)是一種人為設(shè)計的‘動力學(xué)系統(tǒng)’。

        人們設(shè)計這種動力學(xué)系統(tǒng)，目的在于和‘被控對象’這一‘動力學(xué)系統(tǒng)’相互作用后，包含控制算法的‘整個被控系統(tǒng)’的‘動力學(xué)行為’符合目標(biāo)性能要求(參見控制算法手記-先學(xué)習(xí)系統(tǒng)動力學(xué)建模和分析)，這些目標(biāo)性能首先要保證的是穩(wěn)定性。從這個意義上來說，穩(wěn)定性分析是控制算法設(shè)計的題中之義。更為重要的是，對于一些先進控制算法來說（如自適應(yīng)控制算法、滑膜控制、基于觀測器的控制系統(tǒng)等），被控系統(tǒng)的動力學(xué)行為更為復(fù)雜，整個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性很大程度上取決于控制算法參數(shù)的選取和設(shè)計，控制算法的設(shè)計更是主要基于穩(wěn)定性分析和Lyaponov函數(shù)的構(gòu)造，出現(xiàn)了大量以Lyaponov為基礎(chǔ)的控制算法設(shè)計方法。因此，將穩(wěn)定性分析的概念靈活運用到控制算法的設(shè)計就顯得格外重要了。

圖3.將穩(wěn)定性分析運用到參數(shù)辨識算法和控制器設(shè)計中去

        例如，對于間接自適應(yīng)控制系統(tǒng)來說（參考圖3），整個控制系統(tǒng)一般由兩個動態(tài)系統(tǒng)組成，一個參數(shù)辨識動態(tài)（即辨識出來的參數(shù)是否逐步收斂到真實值），另外一個是由控制器和被控對象組成的被控系統(tǒng)（即控制誤差是否逐步減小到零），兩者都依賴于系統(tǒng)輸出進行在線更新（一般反饋回路動態(tài)快于參數(shù)辨識動態(tài)）。由于參數(shù)辨識動態(tài)和控制輸入，使得整個被控系統(tǒng)表現(xiàn)為非線性（參數(shù)辨識算法）、時變（參數(shù)實時辨識/更新）系統(tǒng)，加上模型不確定性，很有可能出現(xiàn)參數(shù)辨識結(jié)果發(fā)散以及由此導(dǎo)致的控制誤差無窮大的情況。因此，自適應(yīng)控制一般通過設(shè)計Lyaponov函數(shù)以及穩(wěn)定性分析使得控制誤差和參數(shù)辨識誤差均有界：Lyaponov函數(shù)中的控制誤差項的導(dǎo)數(shù)一般是（控制誤差、控制輸入、狀態(tài)變量以及辨識參數(shù)誤差）的函數(shù)，通過設(shè)計辨識參數(shù)更新率，消除Lyaponov函數(shù)導(dǎo)數(shù)項中的參數(shù)辨識誤差項，且使得Lyaponov函數(shù)半負(fù)定，只依賴于控制誤差。

        總結(jié)

        從‘動力學(xué)系統(tǒng)所體現(xiàn)出來的動力學(xué)行為’以及’描述這些動力學(xué)行為的動力學(xué)模型’的角度理解穩(wěn)定性，對于正確理解各種穩(wěn)定性概念、分析和設(shè)計方法、以及在先進控制算法和控制系統(tǒng)設(shè)計中靈活運用這些概念是至關(guān)重要的。在學(xué)習(xí)和運用穩(wěn)定性分析的相關(guān)方法時，首先還是要從系統(tǒng)動力學(xué)的角度分析自己的被控對象，然后再有針對性的深入到具體理論推導(dǎo)和穩(wěn)定性分析中去，避免陷入‘學(xué)了一大推概念，但感覺對現(xiàn)實問題無所助益，最后覺得理論分析無用，解決不了實際問題’的尷尬現(xiàn)狀。