摘 要：在倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了性能分析。采用LQR對(duì)一級(jí)倒立擺進(jìn)行了最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)，并將其應(yīng)用于倒立擺實(shí)際控制中，實(shí)時(shí)控制效果良好。 關(guān)鍵詞：LQR，倒立擺，實(shí)時(shí)控制 [b][align=center]An Linear Inverted Pendulum Control Based on LQR Xie Lirong，Wang Zhiyong，Wang Li[/align][/b] Abstract：In this paper ,on the base of the model of the single inverted pendulum, analysy the capability of the system. An LQR - based on optimal control system is designed used to the actual control of an inverted pendulum and acquire a good effect. Keywords：LQR，Inverted Pendulum，Real Control 0 引言 　　倒立擺系統(tǒng)是非線性、強(qiáng)藕合、多變量和自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)。線性二次型最優(yōu)控制（Linear Quadratic Regulator—LQR）問題在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要的位置。由于線性二次型（LQ）性能指標(biāo)易于分析、處理和計(jì)算，而且通過線性二次型最優(yōu)設(shè)計(jì)方法得到的控制系統(tǒng)具有較好的魯棒性與動(dòng)態(tài)特性等優(yōu)點(diǎn)，線性二次型在控制界得到普遍重視。運(yùn)用LQR對(duì)倒立擺進(jìn)行最優(yōu)控制系統(tǒng),并從實(shí)時(shí)控制效果出發(fā), 1 倒立擺系統(tǒng)分析 　　深圳固高公司研制開發(fā)的一級(jí)直線倒立擺GIP-100-L ,它是一個(gè)單輸入多輸出的四階控制系統(tǒng),結(jié)構(gòu)組成如圖1所示。 [align=center] 圖1 　倒立擺系統(tǒng)構(gòu)成[/align] 　　1.1 倒立擺系統(tǒng)模型 　　對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行受力分析[1]可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： 　　 　　1.2 倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 　　對(duì)式（1）所描述的倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行階躍響應(yīng)分析[2]。小車位移和擺桿角度階躍響應(yīng)曲線如圖2和圖3所示。 [align=center] 圖2 小車位移階躍響應(yīng)曲線 圖3 小車角度階躍響應(yīng)曲線[/align] 　　小車位移和擺桿角度都是發(fā)散的，倒立擺系統(tǒng)不穩(wěn)定。 　　1.3 倒立擺系統(tǒng)能控性分析 　　系統(tǒng)能控性是控制器設(shè)計(jì)的前提。由能控性矩陣M=[B AB …A[sup]n-1[/sup]B ]，在MATLAB中利用可控性矩陣的ctrb命令來計(jì)算，可以得出Rank（M）=4,可知系統(tǒng)可控。 2 LQR控制器設(shè)計(jì) 　　2.1 二次型最優(yōu)控制原理 　　設(shè)給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 　　 　　二次型性能指標(biāo)函數(shù)[3]: 　　 　　其中:加權(quán)陣Q和R是用來平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權(quán)重,Q是半正定陣,R陣是正定陣。 　　最優(yōu)控制規(guī)律： 　　 　　 　　其中：K為最優(yōu)反饋增益，P為黎卡提矩陣方程的解。 　　黎卡提矩陣方程： 　　 　　 　　則，最優(yōu)反饋增益K為： 　　 　　2.2 LQR參數(shù) 　　由MATLAB語(yǔ)句K=lqr（A,B,Q,R）,取Q=diag（1000,0,70,0），求得K=[-31.623 ,-20.151,72.718,13.155]，即為L(zhǎng)QR控制器控制器參數(shù)[5]。 3 系統(tǒng)仿真與實(shí)控 　　3.1系統(tǒng)仿真 　　在MATLAB/Simulink環(huán)境搭建如圖4所示仿真模型[4]。 [align=center] 圖4 仿真模型圖[/align] 　　運(yùn)行結(jié)果如圖5所示： [align=center] 圖5 仿真結(jié)果圖[/align] 　　由圖5可以看出，系統(tǒng)能較好的跟蹤階躍信號(hào)，擺桿的超調(diào)量足夠小,穩(wěn)態(tài)誤差、上升時(shí)間與調(diào)整時(shí)間也符合設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。這時(shí)如果再增大Q ,系統(tǒng)的響應(yīng)還會(huì)有所改善,但是在保證Q足夠小并兼顧其它響應(yīng)指標(biāo)時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)已經(jīng)能夠滿足要求了。 　　3.2 系統(tǒng)實(shí)控 　　利用固高倒立擺系統(tǒng)MATLAB實(shí)時(shí)控制平臺(tái)，建立系統(tǒng)時(shí)控模型如圖6所示： [align=center] 圖6 時(shí)控模型圖[/align] 　　利用LQR設(shè)計(jì)的控制器對(duì)倒立擺進(jìn)行實(shí)時(shí)控制,可以使倒立擺達(dá)到穩(wěn)定,起擺時(shí)小車位置和擺桿角度響應(yīng)曲線如圖7、圖8所示。 [align=center] 圖7 起擺過程小車位移實(shí)控曲線 圖8 起擺過程擺桿角度實(shí)控曲線[/align] 　　在倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下,對(duì)系統(tǒng)施加干擾 , 小車位置和擺桿角度響應(yīng)曲線如圖9、圖10所示。 [align=center] 圖9 小車位移受擾動(dòng)實(shí)控曲線 圖10 擺桿角度受擾動(dòng)實(shí)控曲線[/align] 　　小車能迅速調(diào)整,使整個(gè)系統(tǒng)在很短的時(shí)間內(nèi)恢復(fù)平衡。 4 結(jié)束語(yǔ) 　　運(yùn)用LQR實(shí)現(xiàn)了一級(jí)倒立擺的控制，仿真和實(shí)控證明設(shè)計(jì)控制器的有效性，系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性和魯棒性。 參考文獻(xiàn)： 　　[1]固高科技有限公司.固高倒立擺與自動(dòng)控制原理實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書[M].深圳:固高科技有限公司,2005年9月。 　　[2]鄒伯敏.自動(dòng)控制理論[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2003年。 　　[3]劉豹.現(xiàn)代控制理論[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2007年。 　　[4]吳曉燕,張雙選.MATLAB在自動(dòng)控制中的應(yīng)用[M] .西安：西安電子科技大學(xué)出版社,2006年。[5]王士瑩,張峰,陳志勇,趙協(xié)廣.直線一級(jí)倒立擺的LQR控制器設(shè)計(jì)[J].信息技術(shù).2006年, 35（6）:98～99。 　　[6]王仲民,孫建軍,岳宏.基于LQR的倒立擺最優(yōu)控制系統(tǒng)研究[J].工業(yè)儀表與自動(dòng)化裝置.2005年,3（6）:28～32。