摘  要: 本文是以線性系統(tǒng)為被控對象，以二次型泛函指標為性能指標的最優(yōu)控制問題，利用線性二次型最優(yōu)控制理論實現(xiàn)磁懸浮系統(tǒng)的平穩(wěn)控制。由于特殊的指標形式和系統(tǒng)對象的線性性質，使所討論的帶有等式約束的動態(tài)優(yōu)化問題可以獲得基于Riccati方程表達的線性狀態(tài)反饋，并在此基礎上建立了相應的數(shù)學模型，同時，利用MATLAB仿真和PID控制仿真結果進行比較，該方案可以得到更為滿意的結果。

關鍵詞: 線性二次型，磁懸浮，最優(yōu)控制，MATLAB

1  前言

     近年來，磁懸浮技術得到了迅速發(fā)展，并得到越來越廣泛的應用。磁懸浮由于其無接觸的特點，避免了物體之間的摩擦和磨損，能延長設備的使用壽命，改善設備的運行條件，因而在交通、冶金、機械、電器、材料等各個方面有著廣闊的應用前景。目前國外在磁懸浮方面的研究工作主要集中在磁懸浮列車方面，進展最快，己從實驗研究階段轉向試驗運行階段。

     以線性二次型性能指標為基礎的最優(yōu)控制問題是二十世紀50 年代末期發(fā)展起來的一種設計控制系統(tǒng)的方法, 它把所得到的最有反饋控制與非線性的開環(huán)最優(yōu)控制結合起來，可減少開環(huán)控制的誤差，達到更精確的控制目的。

     本文是以固高科技磁懸浮教學實驗設備為模型基礎，結合線性二次型最優(yōu)控制的一般理論，實現(xiàn)磁懸浮系統(tǒng)的平穩(wěn)控制，并通過與經(jīng)典PID控制比較，理論分析及MATLAB仿真，得到更為滿意的結果。

2  磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學模型

     磁懸浮球控制系統(tǒng)是研究磁懸浮技術很典型的平臺，它是一個典型的吸浮式懸浮系統(tǒng)。

     它的系統(tǒng)結構圖如圖1所示，主要由LED光源、電磁鐵、光電位置傳感器、電源、放大及補償裝置、數(shù)據(jù)采集卡和控制對象（鋼球）等元件組成

圖1磁懸浮實驗系統(tǒng)結構圖

2.1系統(tǒng)的工作原理

     電磁鐵繞組中通以一定的電流會產(chǎn)生電磁力F，只要控制電磁鐵繞組中的電流，使之產(chǎn)生的電磁力與鋼球的重力mg相平衡,鋼球就可以懸浮在空中而處于平衡狀態(tài)。為了得到一個穩(wěn)定的平衡系統(tǒng)，必須實現(xiàn)閉環(huán)控制，使整個系統(tǒng)穩(wěn)定具有一定的抗干擾能力。本系統(tǒng)中采用光源和光電位置傳感器組成的無接觸測量裝置檢測鋼球與電磁鐵之間的距離x的變化。電磁鐵中控制電流的大小作為磁懸浮控制對象的輸入量。

2.2 系統(tǒng)的數(shù)學模型

     實際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下：

     由于輸入量直接是電磁鐵的控制電流，沒有考慮感抗對系統(tǒng)的影響，而從感性元件儲能的角度加以分析建模。且假設功率放大器的輸出電流與輸入電壓之間呈嚴格的線性關系且無延遲。

     系統(tǒng)可用下列方程來描述：

      拉普拉斯變換后得：

      由邊界方程代入得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：

     定義系統(tǒng)對象的輸入量為功率放大器的輸入電壓也即控制電壓，系統(tǒng)對象輸出量為所反映出來的輸出電壓為(傳感器后處理電路輸出電壓)，則該系統(tǒng)控制對象的模型可寫為：    

     由上所得，取系統(tǒng)狀態(tài)變量分別，系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：

     將以上參數(shù)帶入可得到 

     由以上可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量的維數(shù)，所以磁懸浮實驗系統(tǒng)既是可控的又是可觀的，因此可以對系統(tǒng)進行控制器設計，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

3  線性二次型最優(yōu)控制方法

3.1 線性二次型最優(yōu)控制器的結構

     其結構框圖如圖2所示

 圖2線性二次型最優(yōu)控制器的結構圖

3.2 線性二次型最優(yōu)控制方法

     設線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

     其中，是n維的狀態(tài)向量，是m維的控制向量，是維和維矩陣向量。

     設計狀態(tài)調節(jié)器，線性二次型最優(yōu)控制的目的是設計，使線性二次型的性能指標

     最小,其中_，和分別是對狀態(tài)變量和輸入向量的加權矩陣，對最優(yōu)控制而言，為半正定的對稱常數(shù)矩陣，為半正定的對稱常數(shù)矩陣，F為正定的對稱矩陣。構造哈密頓函數(shù)

     求解Riccati矩陣微分方程：

     得到最優(yōu)控制：

     式中為狀態(tài)反饋系數(shù)矩陣，它可用下面式子來描述：

4  系統(tǒng)的MATLAB仿真

      由圖2中得系統(tǒng)模型為：

      現(xiàn)假設系統(tǒng)的最優(yōu)控制律為，求反饋增益矩陣,使得性能指標：

      選取，在Matlab環(huán)境下編寫程序進行線性二次型最優(yōu)控制器設計仿真,得最優(yōu)控制器的反饋增益矩陣K的值為：K =[10.3998  1.0042]，沖擊響應仿真結果如圖3所示：

圖3 沖擊響應仿真曲線（一）

  選取_，得最優(yōu)控制器的反饋增益矩陣K 的值為：K =[ 32.0173  1.0127]，沖擊響應仿真結果如圖4所示：

圖4 沖擊響應仿真曲線（二）

選取，得最優(yōu)控制器的反饋增益矩陣K 的值為：K =[ 100.3929  1.0394]，沖擊響應仿真結果如圖5所示：

圖5 沖擊響應仿真曲線（三）

      比較仿真結果發(fā)現(xiàn)，圖5沖擊響應需要的穩(wěn)定時間較短，并且在穩(wěn)定時間內系統(tǒng)的幅值變化較小，較好的滿足了系統(tǒng)的平穩(wěn)控制，由此可見本文最優(yōu)控制方法很好的達到了系統(tǒng)的要求。

      當系統(tǒng)采用PID調節(jié)器的時候，系統(tǒng)結構如圖6所示：

圖6 PID系統(tǒng)結構圖

      經(jīng)多次設置PID參數(shù)進行仿真比較，當PID參數(shù)時，系統(tǒng)控制性能得到最佳結果，仿真結果如圖7所示：

圖7 沖擊響應仿真曲線（四）

      采用PID調節(jié)器的控制結果和最優(yōu)控制方法相比，雖然能達到控制目的，但控制指標效果不理想，且多次試驗參數(shù)時間較長，采用最優(yōu)控制通過最優(yōu)化算出反饋增益，減少時間，達到比較滿意的控制指標。

結束語

      本文結合線性二次型最優(yōu)控制的一般理論，實現(xiàn)磁懸浮系統(tǒng)的平穩(wěn)控制，并通過理論分析及MATLAB仿真，且與經(jīng)典PID控制比較仿真結果發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)控制方法需要的穩(wěn)定時間較短，并且在穩(wěn)定時間內系統(tǒng)的幅值變化較小，較好的滿足了系統(tǒng)的平穩(wěn)控制，由此可見本文最優(yōu)控制方法很好的達到了系統(tǒng)的要求。