0 引言

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Moment of Inertia)是剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性（回轉(zhuǎn)物體保持其勻速圓周運(yùn)動(dòng)或靜止的特性）的量度，用字母I或J表示。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)中的角色相當(dāng)于線性動(dòng)力學(xué)中的質(zhì)量，可形象地理解為一個(gè)物體對于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的慣性。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對伺服系統(tǒng)的精度、穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)響應(yīng)都有不小影響，伺服系統(tǒng)應(yīng)用中，折算到電機(jī)軸的負(fù)載慣量與電機(jī)的慣量之比不能過大，必須合理取值，否則，系統(tǒng)一般會(huì)出現(xiàn)振蕩甚至失控。但為何需要合適的慣量比，而且這個(gè)推薦的慣量比，在實(shí)踐中如何取值比較合理，這些都是工程師常感到困惑的問題。

1 、伺服電機(jī)負(fù)載慣量比的適宜性分析

1.1 慣量匹配- -最佳的功率傳輸和最大加速度

所有的機(jī)械系統(tǒng)都存在一定程度的彈性（也即剛性是無法無窮大的），而有部分機(jī)械系統(tǒng)則存在背隙。這兩種的任何一種達(dá)到了一定程度時(shí)，都會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)性能極差。因此所謂的慣量不匹配可能導(dǎo)致的問題，其實(shí)是由于機(jī)械剛性不足，可能存在著較大的彈性或背隙而可能產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定問題。伺服系統(tǒng)中我們需要控制的運(yùn)動(dòng)量是負(fù)載端的位置或轉(zhuǎn)速，但實(shí)際上卻是以安裝在電機(jī)上的反饋裝置檢測到的位置或轉(zhuǎn)速信號來代替目標(biāo)負(fù)載控制量，而由于剛性的有限性，這種控制方式在一定條件下，特別是慣量比太大時(shí)，較大概率會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定問題。

要提高系統(tǒng)的快速響應(yīng)性，首先必須提高機(jī)械傳動(dòng)部件的諧振頻率，即提高機(jī)械傳動(dòng)部件的剛性和減小機(jī)械傳動(dòng)部件的慣量。其次通過增大阻尼壓低諧振峰值也能為提高快速響應(yīng)性創(chuàng)造條件。在不少裝備應(yīng)用中，機(jī)械傳動(dòng)部件剛性不足和慣量過大是很普遍的。因此在滿足部件強(qiáng)度和剛度的前提下，應(yīng)盡可能減小運(yùn)動(dòng)部件的慣量。

對于一個(gè)特定的電動(dòng)機(jī)，如果采用減速機(jī)構(gòu)，使歸算到電動(dòng)機(jī)軸上的負(fù)載慣量與電動(dòng)機(jī)的慣量相匹配（負(fù)載慣量等于電機(jī)慣量，即慣量比為1），在忽略減速器所增加的慣量和效率損失的情況下，系統(tǒng)就能實(shí)現(xiàn)最佳的功率傳輸，并能得到最大的負(fù)載加速度，這就是慣量匹配的涵義。文獻(xiàn)[5]也有類似解讀。

但是在國內(nèi)習(xí)慣用“慣量匹配”的概念來代替“合適慣量比”的概念。國外的慣量比研究中，基本都不提“慣量匹配”的概念，而是提“慣量不匹配”（Inertia Mismatch）的概念。如文獻(xiàn)[2]、[3]、[4]，都是基于絕大部分伺服系統(tǒng)應(yīng)用都是“慣量不匹配”的實(shí)際情況下，研究如何實(shí)現(xiàn)伺服系統(tǒng)快響應(yīng)又不產(chǎn)生不穩(wěn)定問題。

文獻(xiàn)[1]從加速度最大的原則出發(fā)，推導(dǎo)了負(fù)載慣量、電機(jī)慣量、減速比三者的關(guān)系符合公式（1）時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)負(fù)載慣量匹配。

對于負(fù)載已經(jīng)確定，而且電動(dòng)機(jī)也已選定的系統(tǒng)而言，如果減速機(jī)構(gòu)的減速比按照公式（1）來選取時(shí)，則稱為最佳減速比，這時(shí)歸算到電動(dòng)機(jī)軸上的負(fù)載慣量與電動(dòng)機(jī)的慣量實(shí)現(xiàn)了所謂的慣量匹配（即慣量比為1）。

文獻(xiàn)[5]從負(fù)載功率變化率最大的原則出發(fā)，也推導(dǎo)出負(fù)載慣量與電動(dòng)機(jī)的慣量相等時(shí)，實(shí)現(xiàn)了慣量匹配。

但在實(shí)際應(yīng)用中考慮到減速機(jī)構(gòu)本身的慣量、減速機(jī)構(gòu)的低效、減速機(jī)構(gòu)輸入軸及電機(jī)的最高速度限制、機(jī)械空間限制、成本等原因，絕大部分裝備制造業(yè)中應(yīng)用的伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，減速機(jī)的選擇都不是按照最佳減速比來確定的，也即負(fù)載慣量與電機(jī)慣量一般是不匹配的。因此工程應(yīng)用中要研究的不是實(shí)現(xiàn)負(fù)載慣量匹配，而是實(shí)現(xiàn)負(fù)載慣量與電機(jī)慣量的比率在合理的范圍，確保系統(tǒng)的快速響應(yīng)同時(shí)能穩(wěn)定運(yùn)行即可。

1.2 常用傳動(dòng)機(jī)構(gòu)適宜慣量比推薦值范圍

在應(yīng)用中需仔細(xì)考慮電機(jī)所驅(qū)動(dòng)機(jī)械機(jī)構(gòu)的類型（因?yàn)椴煌瑐鲃?dòng)機(jī)構(gòu)有不同的剛性）并采用適宜的慣量比。表1列出了不同類型的減速機(jī)構(gòu)所具有的

比值的不同推薦值范圍。(注：為加入減速機(jī)構(gòu)之后，歸算到電動(dòng)機(jī)軸上的負(fù)載慣量。而JL則是不加入減速機(jī)構(gòu)的負(fù)載慣量)

表1常用傳動(dòng)機(jī)構(gòu)適宜慣量比 推薦指范圍

對表1應(yīng)用補(bǔ)充說明:

當(dāng)需要頻繁快速啟停時(shí)，為了保證足夠的加速度使系統(tǒng)響應(yīng)快速和滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性要求，則慣量比的選取宜往下限靠，可以考慮慣量比不要超過表1中最大值的一半來選取。

1.3 負(fù)載慣量比太大的不利影響分析及實(shí)驗(yàn)結(jié)論

伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)負(fù)載慣量比過大時(shí)，系統(tǒng)一般會(huì)出現(xiàn)振蕩甚至失控。如果系統(tǒng)傳動(dòng)剛性為無窮大，理論上負(fù)載慣量比也可以設(shè)置到無窮大。連軸方式的扭轉(zhuǎn)剛性，以及負(fù)載慣量比都會(huì)影響振蕩的頻率和幅度，不過連軸方式的扭轉(zhuǎn)剛性的影響程度大得多。如果希望根除系統(tǒng)振蕩現(xiàn)象，更多的時(shí)候應(yīng)該從增大系統(tǒng)傳動(dòng)剛性的角度下功夫。提高電機(jī)與負(fù)載之間的連軸器的抗扭剛度，可以提升振蕩頻率，同時(shí)可降低振蕩的幅度。文獻(xiàn)[4]的研究測試結(jié)果表明，如果連軸方式的扭轉(zhuǎn)剛性較低，即使在負(fù)載慣量匹配（負(fù)載慣量比為1）的條件下，速度響應(yīng)也可能會(huì)出現(xiàn)振蕩的不穩(wěn)定情況。

為了研究負(fù)載慣量比過大對伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的影響，在文獻(xiàn)[3]中，做了電機(jī)帶不同慣量負(fù)載的兩類測試。兩類測試結(jié)果結(jié)論如下：

1） 兩種測試中，在一定的慣量比情況下，系統(tǒng)都能夠運(yùn)行穩(wěn)定而且速度響應(yīng)都無超調(diào)或振蕩。（注意在不是慣量匹配，而是慣量比為5的條件下，伺服系統(tǒng)響應(yīng)仍能夠很穩(wěn)定）

2） 相對于初始調(diào)試好驅(qū)動(dòng)器參數(shù)時(shí)的慣量值，隨著負(fù)載慣量較大幅度增大或減少，負(fù)載響應(yīng)變得很差。例如測試一中，慣量比增大到一定程度之后，速度嚴(yán)重超調(diào)，甚者振蕩，振蕩的頻率較低，而且隨著負(fù)載慣量的增大，整定時(shí)間越來越長。在測試二中，相對于初始調(diào)試好驅(qū)動(dòng)器參數(shù)時(shí)的慣量值，隨著負(fù)載慣量的減少，在減少到小于初始調(diào)試好驅(qū)動(dòng)器參數(shù)時(shí)的慣量值的一半時(shí)，系統(tǒng)就變得不穩(wěn)定了，而且振蕩的頻率較高。

1.4 解決負(fù)載慣量比太大的策略

為了消除由于負(fù)載慣量與電動(dòng)機(jī)慣量之間的不匹配倍數(shù)太大引起的系統(tǒng)不穩(wěn)定，可以采取以下幾項(xiàng)措施：

1） 首先是提高機(jī)械系統(tǒng)的剛度。（例如，提高連軸器的抗扭剛度，可以提升響應(yīng)的振蕩頻率，同時(shí)可降低振蕩的幅度）

2） 其次采用合適的減速機(jī)構(gòu)（如減速箱、同步帶輪減速等），盡可能把負(fù)載慣量與電動(dòng)機(jī)慣量之間的不匹配程度降到最小。（推薦適宜慣量比見表1）

3） 在上述措施無效的情況下，可以采取增加電動(dòng)機(jī)慣量的方法，盡可能把負(fù)載慣量與電動(dòng)機(jī)慣量之間的不匹配程度降到最小。增加電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以明顯降低諧振點(diǎn)諧振幅值，提高伺服系統(tǒng)穩(wěn)定性。但要注意電機(jī)的體積、成本一般是隨著額定轉(zhuǎn)矩增大而升高的，因此為了慣量比合理而選用更大電機(jī)慣量的電機(jī)時(shí)，最好選用轉(zhuǎn)矩定額一樣的，而僅慣量較大的電機(jī)。這樣才能避免電機(jī)體積、成本大增。

4） 另一種解決方案是采用考慮了連軸扭曲量的高階伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，該系統(tǒng)需要用到電機(jī)本體的位置反饋、同時(shí)還需要負(fù)載端的位置反饋，構(gòu)成全閉環(huán)系統(tǒng)。這種系統(tǒng)可以有更快、更穩(wěn)的瞬態(tài)響應(yīng)。

2 、負(fù)載慣量計(jì)算及電機(jī)選型舉例

雷賽公司的交流伺服電機(jī)一般有不同慣量的型號可供用戶選用，如60、80機(jī)座電機(jī)都有中慣量和小慣量兩種。下面通過兩個(gè)常見案例負(fù)載慣量計(jì)算，合理電機(jī)選型，來說明減小慣量不匹配的方法。

2.1 絲桿結(jié)構(gòu)

已知：負(fù)載重量m=200kg，螺桿螺距Pb=20mm螺桿直徑Db=50mm，螺桿重量mb=40kg，摩擦系數(shù)μ=0.002，機(jī)械效率η=0.9，負(fù)載移動(dòng)速度V=30m/min，全程移動(dòng)時(shí)間t=1.4s，加減速時(shí)間t1=t3=0.2s，靜止時(shí)間t4=0.3s。請選擇滿足負(fù)載需求的最小功率伺服電機(jī)。

解：1） 計(jì)算折算到電機(jī)軸上的負(fù)載慣量

重物折算到電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

2）計(jì)算電機(jī)轉(zhuǎn)速

電機(jī)所需轉(zhuǎn)速 N = V / PB= 30 / 0.02= 1500 rpm

3） 計(jì)算電機(jī)驅(qū)動(dòng)負(fù)載所需要的扭矩

克服摩擦力所需轉(zhuǎn)矩

=( 200 * 9.8 * 0.002 * 0.02 )/ 2π / 0.9 = 0.01387 Nm

重物加速時(shí)所需轉(zhuǎn)矩

= 200 * (30 / 60 / 0.2) * 0.02 / 2π / 0.9 = 1.769 Nm

螺桿加速時(shí)所需要轉(zhuǎn)矩

= 0.0125 * (1500 * 6.28 / 60 / 0.2) / 0.9 = 10.903 Nm

所需最大轉(zhuǎn)矩

選定電機(jī)方案：運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)總慣量為145.29kg*cm2，需要最大轉(zhuǎn)矩為12.686Nm。雷賽ACM13030M2E-51-B電機(jī)，額定轉(zhuǎn)速2500RPM，額定力矩12NM，轉(zhuǎn)子慣量29kg*cm2，負(fù)載慣量比=145.29/29≈5倍，符合表1的負(fù)載慣量比推薦值范圍。

2.2 同步輪結(jié)構(gòu)

已知：快速定位運(yùn)動(dòng)模型中，負(fù)載重量M=5kg，同步帶輪直徑D=60mm，D1=90mm，D2=30mm，負(fù)載與機(jī)臺摩擦系數(shù)μ=0.003，負(fù)載最高運(yùn)動(dòng)速度2m/s，負(fù)載從靜止加速到最高速度時(shí)間100ms，忽略各傳送帶輪重量，選擇伺服電機(jī)。

選定電機(jī)方案：

由上述計(jì)算結(jié)果,可選擇雷賽伺服電機(jī)ACM6006L2H（額定轉(zhuǎn)矩1.9NM，額定轉(zhuǎn)速3000RPM，電機(jī)慣量0.6 kg.cm^2），慣量比為：5 / 0.6=8.3倍。

筆者在一些客戶現(xiàn)場發(fā)現(xiàn)， 有部分用戶選用了以下型號電機(jī)：ACM6004L2H（額定力矩1.27NM，峰值轉(zhuǎn)矩3.81NM，額定轉(zhuǎn)速3000RPM，電機(jī)慣量0.42 kg.cm^2）。如果選擇了此方案，系統(tǒng)慣量比為5/0.42=11.9倍，動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能及定位完成時(shí)間都會(huì)比選擇ACM6006L2H伺服方案要差，合理的慣量比對整個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能有很大的提升。

3、 結(jié)論

歸算到電動(dòng)機(jī)軸上的負(fù)載慣量與電動(dòng)機(jī)的慣量比為1時(shí)，我們稱之為慣量匹配。但在實(shí)際應(yīng)用中絕大部分負(fù)載慣量是不匹配的。因此我們要研究的不是實(shí)現(xiàn)慣量匹配，而是實(shí)現(xiàn)負(fù)載慣量與電機(jī)慣量的比率在合理的范圍。

要提高伺服系統(tǒng)的快速響應(yīng)特性，首先必須提高機(jī)械傳動(dòng)部件的諧振頻率，即提高機(jī)械傳動(dòng)部件的剛性和減小機(jī)械傳動(dòng)部件的慣量。其次通過增大阻尼壓低諧振峰值也能提高快速響應(yīng)特性創(chuàng)造條件。第三，如果負(fù)載慣量較大時(shí)，可以考慮采用減速機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)負(fù)載慣量與電機(jī)慣量之間的慣量比在合適范圍（具體見表1）。在部分應(yīng)用案例中，也可以考慮選用慣量更大的電機(jī)，來滿足降低慣量比，提高加速性能和穩(wěn)定性的要求。最后，伺服驅(qū)動(dòng)控制算法很多新技術(shù)的成功應(yīng)用，也為伺服系統(tǒng)更高精度、高平穩(wěn)性運(yùn)行提供了可能。

雷賽簡介

雷賽智能是智能裝備運(yùn)動(dòng)控制領(lǐng)域的世界知名品牌和行業(yè)領(lǐng)軍企業(yè)。

自1997年成立以來，雷賽一直以“替代人類手工勞動(dòng)”為企業(yè)使命、聚焦于伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、運(yùn)動(dòng)控制卡、運(yùn)動(dòng)控制器等系列精品的研發(fā)、生產(chǎn)、銷售和服務(wù)，并通過鍥而不舍、點(diǎn)點(diǎn)滴滴的持續(xù)努力來成就客戶夢想和實(shí)現(xiàn)共同成長。

經(jīng)過二十年如一日的產(chǎn)品創(chuàng)新、市場開拓和應(yīng)用服務(wù)，雷賽已經(jīng)成為全球產(chǎn)銷規(guī)模領(lǐng)先的運(yùn)動(dòng)控制產(chǎn)品和解決方案提供商。由于雷賽產(chǎn)品兼具穩(wěn)定可靠和性能優(yōu)越的雙重優(yōu)勢，在電子、機(jī)器人、機(jī)床、激光、醫(yī)療、紡織等行業(yè)獲得上萬家優(yōu)秀設(shè)備廠家的長期使用，且遠(yuǎn)銷美國、德國、印度等60多個(gè)國家。