摘 要提出了一類變圓弧齒輪。利用偏差函數(shù)法，給出了齒廓的完整構(gòu)造過程，證明了它滿足齒廓嚙合基本定律；推導(dǎo)了齒廓方程等基本公式，討論了變圓弧齒輪的特性，給出了變圓弧齒廓的實(shí)例；這種齒輪具有較高的承載能力，特別便于高速、高精度數(shù)控加工，它將在重載傳動(dòng)場(chǎng)合得到應(yīng)用。 關(guān)鍵詞 齒輪 齒廓 偏差函數(shù) 嚙合原理 齒輪強(qiáng)度 引言 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)齒輪傳動(dòng)的要求也不斷提高，特別在重載和小型化方面尤為突出。目前，在齒輪設(shè)計(jì)中常用的有漸開線、擺線和圓弧3種齒廓；其中，漸開線齒輪由于制造簡(jiǎn)單，對(duì)中心距偏差不敏感等優(yōu)點(diǎn)，得到廣泛使用，但是，它承載能力較差，較少用于重載傳動(dòng)中；擺線齒輪接觸應(yīng)力小，齒廓的重合度較大，有利于彎曲強(qiáng)度的改善，但對(duì)嚙合齒輪的制造和裝配精度要求較高；上世紀(jì)50年代出現(xiàn)的圓弧類齒輪彎曲強(qiáng)度不高，為了實(shí)現(xiàn)連續(xù)接觸，一般需做成斜齒輪，在制造和小型化方面受到了極大地限制。為了提高齒輪的承載能力，研究人員提出了許多新型齒廓，例如：微線段齒輪齒廓，分階式雙漸開線齒輪等，對(duì)提高齒輪的強(qiáng)度能起到一定作用，但是，這些新齒廓在制造或裝配等方面還存在某些不足。本文從偏差函數(shù)概念出發(fā)，提出了一種新型齒輪——變圓弧齒輪。文中介紹了變圓弧齒輪的形成原理，推導(dǎo)了齒廓計(jì)算公式，討論了變圓弧齒輪的特性，給出了齒廓實(shí)例。 1 變圓弧齒廓的形成原理 1．1 變圓弧齒廓的形成原理 下面根據(jù)美國(guó)學(xué)者D.C.H.Yang等提出的偏差函數(shù)（DF）法，介紹變圓弧齒廓的形成原理。 設(shè)P[sub]1[/sub]是半徑為1的齒輪節(jié)圓，θ[sub]1[/sub]為轉(zhuǎn)角，以e（θ[sub]1[/sub]）為半徑，圓心均勻分布在節(jié)圓上，畫出一系列的圓，如圖1所示（這里取e（θ[sub]1[/sub]）=r[sub]0[/sub]COS（2θ[sub]1[/sub]）；當(dāng)e（θ[sub]1[/sub]）滿足一定的約束條件時(shí)，這一系列的圓可以包絡(luò)出光滑的齒廓g[sub]1[/sub]（θ[sub]1[/sub]），從圖中可看出，e1（θ[sub]1[/sub]）=||P（θ[sub]1[/sub]）-g（θ[sub]1[/sub]）ll，稱e（θ[sub]1[/sub]）為偏差函數(shù)。我們將滿足上述生成原理的一類齒廓統(tǒng)稱為變圓弧包絡(luò)齒廓，簡(jiǎn)稱為變圓弧齒廓，由它構(gòu)成的齒輪副稱為變圓弧齒輪副。 當(dāng)取偏差函數(shù)e（θ[sub]1[/sub]）=（rcosα） θ[sub]1[/sub]時(shí)，變圓弧齒廓就是常見的漸開線齒廓；而當(dāng)偏差函數(shù)取e（θ[sub]1[/sub]）=時(shí)，這時(shí)的變圓弧齒廓就是擺線齒廓；而對(duì)于普通圓弧齒輪來說，相當(dāng)于偏差函數(shù)e（θ[sub]1[/sub]）只在某些離散點(diǎn)取值。 1．2 變圓弧齒廓的計(jì)算 從圖2可以看出，用坐標(biāo)分量表示的變圓弧齒輪齒廓P[sub]1[/sub]的方程為 式中， ψ定義為在g點(diǎn)齒廓的法線與x軸之間的夾角，它是θ[sub]1[/sub]的函數(shù)，由圖2知 [align=center] [/align] 為了使獲得的上述齒廓能夠?qū)嶋H應(yīng)用，還必須對(duì)偏差函數(shù)e（θ[sub]1[/sub]）的選擇做某些限制 （1）為保證齒廓曲線不相交，要求 （2）為確保方程式（3）有解，要求 （3）為保證輪廓曲線C′連續(xù)，在節(jié)圓p[sub]1[/sub]與齒廓g[sub]1[/sub]的交叉點(diǎn)C[sub]p[/sub]處，e（θ[sub]c[/sub][sub]p[/sub]）必須等于零。 （4）為了保證齒廓光順，在e（θ[sub]1[/sub]）最小、最大值之間必須單調(diào)變化。 （5）為了使齒輪齒數(shù)N[sub]1[/sub]取整數(shù)并且保證有一定的重合系數(shù)μ，兩個(gè)交匯點(diǎn)之間的角度范圍Φ[sub]1[/sub]應(yīng)滿足。 2 變圓弧齒輪齒廓的嚙合原理 設(shè)一對(duì)變圓弧齒輪的齒廓相互嚙合，如圖3所示，在某一瞬時(shí)，這對(duì)共軛齒輪O[sub]1[/sub]和O[sub]2[/sub]的齒廓c[sub]1[/sub]和c[sub]2[/sub]在g點(diǎn)處嚙合，根據(jù)齒廓嚙合原理，共軛齒廓方程可寫成 式中，g[sub]1x[/sub]，g[sub]1y[/sub]，g2x和g[sub]2y[/sub]分別是嚙合點(diǎn)g在齒輪隨體直角坐標(biāo)系0l和02中的坐標(biāo)分量，O[sub]1[/sub]和O[sub]2[/sub]是齒輪θ[sub]1[/sub]和θ[sub]2[/sub]的轉(zhuǎn)角，而φ[sub]1[/sub]和φ[sub]2[/sub]是齒廓在g點(diǎn)的法線與兩個(gè)x坐標(biāo)軸的夾角。 兩齒廓嚙合過程中保持接觸的條件是齒廓c[sub]1[/sub]上的g點(diǎn)速度V[sub]g1[/sub]和齒廓c[sub]2[/sub]上的g點(diǎn)速度V[sub]g2[/sub]在公法線方向的速度分量相等，即v[sub]gn1[/sub]=v[sub]gn2[/sub]；從齒廓的生成原理可知，兩齒輪的齒廓在任意嚙合點(diǎn)g處存在公法線n-n′它與連心線O[sub]1[/sub]O[sub]2[/sub]交于節(jié)點(diǎn)P，由O[sub]1[/sub]和O[sub]2[/sub]點(diǎn)分別向n-n′作垂線，交于n[sub]1[/sub]和n[sub]2[/sub]點(diǎn)，則，如圖3，則傳動(dòng)比為 因此，我們得出結(jié)論：變圓弧齒輪能夠?qū)崿F(xiàn)恒定轉(zhuǎn)速比傳動(dòng)。 變圓弧齒輪副齒廓間的相對(duì)滑動(dòng)速度為 一般情況下，變圓弧齒輪的壓力角是與齒輪轉(zhuǎn)角有關(guān)的變量，對(duì)漸開線齒廓，e（θ[sub]1[/sub]）=r[sub]1[/sub]cosα（θ），帶入上述壓力角計(jì)算公式可得e=a。 4 變圓弧齒輪齒廓的特點(diǎn) 從理論上講，變圓弧齒輪包括外嚙合齒輪副和內(nèi)嚙合齒輪副。由于外嚙合的漸開線齒輪具有制造簡(jiǎn)單，對(duì)誤差不敏感等優(yōu)點(diǎn)，因此，下面討論的變圓弧齒輪是以提高齒輪強(qiáng)度為目的，用于重載場(chǎng)合的凸凹型內(nèi)嚙合變圓弧齒輪。 如圖4所示，以節(jié)圓為分界面可以將變圓弧齒廓分割成凸齒a，a′和b，b′凹齒兩部分，其中a′，b′是a，b的鏡像，a段和b段可以用不同的偏差函數(shù)分別進(jìn)行設(shè)計(jì)，但必須在節(jié)圓上相交并保證在交點(diǎn)處至少一階連續(xù)。 齒輪的失效形式主要是斷齒和點(diǎn)蝕，反映他們的性能指標(biāo)包括：齒根彎曲強(qiáng)度和表面接觸強(qiáng)度；齒根彎曲應(yīng)力的近似計(jì)算公式為 式中，ω為齒寬，h和b分別為力F[sub]t[/sub]作用點(diǎn)到齒根的距離和齒寬。 根據(jù)Hertz接觸應(yīng)力理論，假設(shè)兩個(gè)齒輪采用相同的材料制造，內(nèi)嚙合齒廓在接觸點(diǎn)g處的接觸應(yīng)力計(jì)算公式為 式中ρ[sub]g1[/sub]ρ[sub]g2[/sub]分別為兩齒廓在接觸點(diǎn)處的曲率半徑，它們的計(jì)算公式分別為 從上述公式可知，齒面接觸應(yīng)力的大小與接觸點(diǎn)處曲率半徑的差成正比，齒根彎曲應(yīng)力和齒面接觸應(yīng)力都與生成齒廓的偏差函數(shù)有關(guān)，因此，通過合理設(shè)計(jì)變圓弧齒輪的偏差函數(shù)，我們能夠獲得所需的齒根彎曲強(qiáng)度和表面接觸強(qiáng)度。變圓弧齒輪在某一瞬時(shí)的嚙合狀態(tài)與雙圓弧齒輪相似，但普通雙圓弧齒輪為了實(shí)現(xiàn)連續(xù)傳動(dòng)必須做成斜齒輪的形式，而這里介紹的變圓弧齒輪是通過一系列不同半徑圓弧的包絡(luò)，在直齒情況下，實(shí)現(xiàn)了圓弧齒輪的連續(xù)傳動(dòng)。 變圓弧齒輪不存在根切現(xiàn)象，最小齒數(shù)可以做到兩個(gè)齒。 能否實(shí)現(xiàn)高精度、低成本制造是限制非漸開線齒輪應(yīng)用的主要原因之一，如果我們以節(jié)點(diǎn)為原點(diǎn)，選齒輪轉(zhuǎn)角、偏差函數(shù)e（θ）和壓力角a為3個(gè)進(jìn)給軸，那末，在數(shù)控插補(bǔ)加工時(shí)，法向刀具半徑補(bǔ)償變得非常簡(jiǎn)單，另外，式（3）具有閔科夫斯基勾股速端曲線的形式，容易實(shí)現(xiàn)高速、高精度數(shù)控加工，這是變圓弧齒輪非常重要的優(yōu)點(diǎn)。 與其它內(nèi)嚙合齒輪相似，變圓弧齒輪也存在對(duì)誤差敏感等問題。 5 變圓弧齒輪齒廓舉例 變圓弧齒輪設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容是在某些幾何約束條件下，設(shè)計(jì)出滿足強(qiáng)度性能要求的齒輪齒廓。變圓弧齒輪的設(shè)計(jì)大體上分為4個(gè)步驟 1）確定齒輪副參數(shù)，如：齒輪材料特性、傳動(dòng)比、重合系數(shù)、模數(shù)、中心距和負(fù)載力矩等。 2）生成偏差函數(shù)。 3）構(gòu)造齒廓。 4）評(píng)估齒輪副性能。滿足要求，結(jié)束；否則，轉(zhuǎn)2。 下面給出一個(gè)采用偏差函數(shù)方法設(shè)計(jì)的內(nèi)嚙合正變圓弧齒輪副。設(shè)齒輪副的中心距為l，節(jié)圓半徑同為l/2，偏差函數(shù)選 圖5描繪了上述齒輪齒廓的連續(xù)凸凹接觸特性，它的重合系數(shù)為1.2。 由于篇幅的限制，有關(guān)變圓弧齒輪副設(shè)計(jì)的其它內(nèi)容和方法將在以后的文章中作進(jìn)一步的介紹。 6 結(jié)論 本文提出了一種新型的變圓弧齒輪，介紹了設(shè)計(jì)這種齒輪的新方法，為齒廓研究提供了新思路和更為廣闊的研究空間。由以上的推導(dǎo)、論證以及計(jì)算可得出以下結(jié)論： 變圓弧齒輪副滿足齒輪傳動(dòng)的基本條件，它主要采用凸凹型內(nèi)嚙合的傳動(dòng)形式，用于重載傳動(dòng)場(chǎng)合。 通過優(yōu)化設(shè)計(jì)偏差函數(shù)，變圓弧齒輪能獲得性能優(yōu)良的齒輪齒廓，特別是能使齒根彎曲應(yīng)力和表面接觸應(yīng)力明顯減小。它還具有結(jié)構(gòu)緊湊，最小齒數(shù)可做到兩齒等優(yōu)點(diǎn)。 齒廓設(shè)計(jì)方法物理意義明確，公式簡(jiǎn)潔，便于進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和制造，特別是可以很容易地實(shí)現(xiàn)刀具半徑補(bǔ)償和進(jìn)行高速、高精度數(shù)控加工。 由于此類齒廓在傳動(dòng)時(shí)必須點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，因而對(duì)制造和裝配誤差比較敏感，齒廓必須采用高精度數(shù)控加工；該類齒輪的其他性質(zhì)有待進(jìn)一步研究。 參考文獻(xiàn) 1 吳序堂編著．齒輪嚙合原理．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1984 2 太原工學(xué)院齒輪研究室編著．圓弧齒輪．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1992